komplexe Zahlen mit Potenzen und Wurzeln

Question

Berechnen Sie im Bereich der komplexen Zahlen (die Zahlen sind in der kartesischen Form z=a+ib, i = imaginäre Einheit, gegeben). Die Ergebnisse sollten wieder in der kartesischen Form angegeben werden)

1. $$(2\sqrt { 2 } +2\sqrt { 2 } *i)^{ 7 }$$

2. $$(8\sqrt { 2 } +8\sqrt { 2 } *i)^{ \frac { 1 }{ 4 }  }$$

Answer 1

Aufgabe 2)

Answer 2

Zu1) Zerlege so (2√2)⁷·(1+i)⁷= (2√2)⁴·(1+i)⁴ (2√2)²·(1+i)² (2√2)·(1+i)=  64·(-4)·8·(-2i)·2√2·(1+i)=8192√2(1-i).

Comments

und wie kommt man auf (1+i)^7 ?

wenn man wurzel aus 2 mal 2 nimmt dann kommt was anders

Answer 3

Hallo ziom,

1)

(2√2 + 2√2 · i)^7  =  (a + b · i)^7

mit  r = √(a^2 + b^2)    und    φ  = arccos(a/r) wenn b≥0      [ φ = - arccos(a/r) wenn b<0 ] 

          →  r = 4    und   φ =  arccos( 1/2 √2 ) = π/4  

Dann gilt mit der Formel von de Moivre 

( a + b · i )^n   =  r^n · ( cos(n·φ) + i · sin(n·φ)  )

        →  (2√2 + 2√2 · i)^7 =  4⁷ · [ cos(7/4·π + i · sin(7/4 · π) ] 

             =     8192·√2  -  8192·√2 · i

Gruß Wolfgang