kurvendiskussion von f(x)=(x^2-2x)*e^0,5x

Question

versteh das ganze prinzip nicht

Comments

bestimme doch mal die Nullstellen.

Dann bilde die 1. Ableitung und bestimme davon die Nullstellen.

Dann können wir bestimmt weiter helfen.

Answer 1

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/kurvendiskussion.html

Answer 2

Hallo GC,

 f(x)  =  (x^2 - 2·x) · e^{0.5·x}

Mit der Produktregel erhältst du die Ableitungen:

f '(x)  = 1/2 · e^{x/2} · (x^2 + 2·x - 4)

f "(x)  =  1/4 · x · e^{x/2} · (x + 6)

Kurvendiskussion

Man betrachtet - bei "normal üblichen Funktionen"  - vor allem folgende Punkte:

1) Definitionsbereich

Wenn dieser nicht angegeben ist, bestimmt man den maximal möglichen Definitionsbereich

In der Schule:  

D_max = ℝ \ { x ∈ ℝ | im Funktionsterm wird ein Nenner 0, der Radikand einer Wurzel negativ, das Argument eines Logarithmus ≤ 0 oder das Argument eines Tangensterms = π/2 + k·π (k∈ℤ) ... }

Bei dir ist  D = ℝ

2) Symmetrie

Man prüft, ob die Funktion symmetrisch zum Ursprung oder zur zur y-Achse ist. Voraussetzung dafür ist natürlich ein symmetrischer Definitionsonsbereich ( wenn x eine Lücke ist, muss auch -x eine sein)

f(-x) = f(x)  f.a. x ∈ D   → Symmetrie zur y-Achse 

f(-x) = - f(x)  f.a. x ∈ D → Symmetrie zum Ursprung 

Bei dir liegt keine dieser Symmetrien vor,  weil der e-Term z.B für x = ± 1 völlig verschieden Beträge hat.

3) Nullstellen (Vorzeichenverlauf von f)

Gleichung f(x) = 0 lösen        [ e-Term > 0 ]

 (x^2 - 2·x) · e^{0.5·x} = 0  ⇔  x · (x - 2) · e^{0.5·x} = 0

                  ⇔  x = 0   oder  x = 2

4) Verhalten an den den Randstellen des Definitionsbereichs 

lim_x→+∞ f(x)  =  ∞  ;    lim_{x→ -∞} f(x)  = 0

weil der e-Term den Einfluss des Polynoms überwiegt.

5) Extremwerte und Monotonie

f '(x) = 0 ergibt die möglichen Extremstellen x_E

f "(x_E) > 0 → T , f "(x_E) < 0 → H 

bei f "(x_E) = 0  prüft, ob und wie f '  bei x_E das Vorzeichen wechselt. 

     wenn  VZW  + → -    hat man einen  Hochpunkt  

     wenn  VZW  - → +    hat man einen  Tiefpunkt

     wenn kein VZW vorliegt, hat man einen Sattelpunkt  

Den VZW von f " kann man auch immer statt des Einsetzens in f " als Eintscheidunggskriterium für  H|T|S  nehmen.

Die Monotonieintervalle erhält man durch die Bedingungen f '(x) ≥ 0 und f "(x) ≤ 0

1/2 · e^{x/2} · (x^2 + 2·x - 4)  = 0  ⇔  (x^2 + 2·x - 4)  = 0 

            pq-Formel →  x = -1 ± √5   →   x₁ ≈ 1,24  ;  x₂  ≈  - 3,24     

    f "(  1,24 ) > 0     →  T( 1,24 | -1,75 )     

     f "( -3,24 ) <  0   →  H( - 3,24 | 3,34 ) 

6) Wendepunkte und Krümmung 

f " (x) = 0  ergibt die möglichen Wendestellen x_w

f '''(x_E) ≠ 0  → W ,  bei f '''(x_E) = 0 prüft man den VZW von f " an der Stelle x_W prüfen.

Die Krümmungsintervalle erhält man aus den Bedingungen  

f "(x) >0 → Links- , f "(x) < 0 → Rechtskrümmung

1/4 · x · e^{x/2} · (x + 6)  = 0  →   x₁ = 0 ; x₂ = - 6    (jeweils mit VZW von f ")

    →  W₁ ( 0 | 0 )   ;   W₂ (- 6 | 2,39 ) 

[   7) ggf. Verhalten an den Definitionslücken (Grenzwerte)   entfällt   

                         (z.B. Polstellen bei gebrochen rationalen Funktionen) ]

8) plausiblen Graph zeichnen

Gruß Wolfgang