Mathe: Monotonie, Stetigkeit, Polstelle, hebbare Definitionslücken der Funktion? y= ((x^2-1)(x^2-25))/ (x^3+4x^2-5x )

Question

Ich brauche Hilfe!!!!

Die Aufgabe lautet: Machen Sie begründete Aussagen über Nullstellen, Grenzwerte, Monotonie, Stetigkeit, Polstelle, hebere Definitionslücken der Funktion

= ((x^2-1)(x^2-25))/ (x^3+4x^2-5x )

Ich habe die Definitionslücke X1=0, X2=1, X3=-5 und die Nullstellen: X1=1, X2=-1, X3= -5, X4= 5 ermittelt. Ich bitte um einen vollständigen Lösungsweg mit Erklärung. !!!!

Comments

y= (x²-1)(x²-25)/ x³+4x²-5x

soll doch bestimmt so lauten

y= (x²-1)(x²-25) / ( x³+4x²-5x )

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EDIT: Habe die Klammern so ergänzt, dass die Nullstellen, die bereits bestimmt sind, hoffentlich passen.

Answer 1

f(x) = ((x²-1)(x²-25))/ (x³+4x²-5x )

Ich habe die Definitionslücken X1=0, X2=1, X3=-5 und die Nullstellen: X1=1, X2=-1, X3= -5, X4= 5 .

Die Definitionslücken sind auf jeden Fall Unstetigkeitsstellen.

Deine Resultate bisher besagen, dass

f(x) = ((x²-1)(x²-25))/ (x³+4x²-5x )

= ((x-1)(x+1)(x-5)(x+5))/ (x(x+5)(x-1))  | x≠-5 , kürzen mit (x+5)(x-1)

= ((x+1)(x-5))/ (x), x≠5   hier sind x =-5 und x=1 keine Definitionslücke mehr. Der Bruch lässt sich auswerten. D.h. x = -5 und x=1 sind eine (stetig) hebbare Definitionslücken der gegebenen Funktion. 

g(x) =  ((x+1)(x-5))/ (x) ist beinahe dieselbe Funktion wie f. In ihrem Graphen wurde einfach zwei Löcher an den Stellen x=-5 und x=1 gestopft. 

Die beiden verbleibende Definitionslücke von g ist  Polstelle der Funktion f . Das ist eine Stelle mit einer vertikalen Asymptoten. 

Die Nullstellen im Zähler von g sind Nullstellen der Funktion f. 

Comments

Lu: Prüfe mal, ob = ((x-1)(x+1)(x-5)(x+5))/ (x(x+5)(x-4)) im Nenner richtig zerlegt wurde.

Answer 2

Hier meine Berechnungen

Zwei der Stellen mit Zähler = 0 haben sich
als hebbare Lücken herausgestellt.

Die Funktion

Kann noch weiter.gehen. Stetigkeit , Monotonie.
Bei Bedarf wieder melden.

Comments

Perfekt und nachvollziehbar geschrieben. Vielen vielen !!

Kann man Stetigkeit und Monotonie auch ohne Zeichnung bzw. rechnerisch ermitteln?

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Monotonie :
die Funktion f ( x ) und f ^* ( x ) sind dieselben
bis auf die 2  geschlossenen Lücken.
Die Steigungen / Monotonie sind dieselben.

f ^* ( x ) = ( x +1 ) * ( x - 5 ) / x
Ableitung
f ^* ´ ( x ) = ( x^2 + 5 ) / x^2

Die Ableitung ist stets positiv. Die Funktion
ist stets monoton steigend.

Stetigkeit : das wird für mich schwierig.
Bei der Polstelle x = 0 macht die Funktion
einen Sprung und ist somit nicht stetig.
Wie man noch weitere Unstetigkeitsstellen
nachweisen könnte ( gibt es aber nicht )
weiß ich nicht.

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Für eine Schulantwort dürfte wohl genügen :

Bei der Polstelle x = 0 macht die Funktion
einen Sprung von +∞ nach -∞ und ist somit
nicht stetig.

oder noch einfacher :
die Funktion hat eine Polstelle und ist somit
nicht stetig.

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Du hast mir mein Leben gerettet :D endlich habe ich das verstanden. dankeeeee!!!!!!

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Ansonsten gilt :
Durch Übung und Rechnung von Aufgaben
kann man sich meistens deutlich steigern.

Answer 3

(x²-1)(x²-25)/( x³+4x²-5x ) Nenner in Klammern?

Dann ist nach Faktorenzerlegung und Kürzen (x²-1)(x²-25)/ (x³+4x²-5x)=(x+1)(x-5)/x. x=1 und x=-5 sind also hehhare Definitionslücken. Nullstellen sind x=-1 undx=5. Polstelle ist x=0.