Gegeben ist die Polynomfunktion f(x)=(1/9)x^4-(4/9)x^3

Question

a) geben Sie einen Funktionsterm der 1. Abl f' an

f'(x) = (4/9)x^3-(12/9)x^2

Für welche x-Werte ist die 1.Abl gleich 0, größer als 0 bzw. kleiner als 0?

f'(x) = (4/9)x^3-(12/9)x^2 = 0 -> Nullstellen berechnen -> x^2 = 0 und x = 0
f'(x) = (4/9)x^3-(12/9)x^2 = 1 -> x^2 = 0 und x = 5,25
f'(x) = (4/9)x^3-(12/9)x^2 = -1 -> x^2 = 0 und x = 0,75

Erklären sie den Zusammenhang zwischen der ersten Abl und der Monotonie.

Nullstellen der 1.Abl und dann die Monotonietabelle.

(4/9)x^3-(12/9)x^2 = -2 -> x = -1,5
Da mache ich etwas falsch. Bei -2 sollte doch es doch monoton steigend, nicht fallend sein. Was mache ich falsch?

Answer 1

f(x) = x^4/9 - 4/9·x^3

f'(x) = 4/9·x^3 - 12/9·x^2

f'(x) = 0 --> x = 3 ∨ x = 0

f'(x) > 0 --> x > 3

f'(x) < 0 --> x ≠ 0 ∧ x < 3

Ist die erste Ableitung größer Null ist der Graph streng monoton steigend. Das ist im Intervall [3; ∞[ der Fall. Der Grenzwert 3 gehört auch in den Bereich obwohl hier noch die Ableitung 0 ist.

Ist die erste Ableitung kleiner Null ist der Graph streng monoton fallend. Das ist im Intervall ]-∞; 3] der Fall. Der Grenzwert 3 und auch der einzelne Wert 0 gehören auch in den Bereich obwohl hier die Ableitung 0 ist.

Comments

                                                             

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"Ist die erste Ableitung kleiner Null ist der Graph streng monoton fallend. Das ist im Intervall ]-∞; 3] der Fall. Der Grenzwert 3 und auch der einzelne Wert 0 gehören auch in den Bereich obwohl hier die Ableitung 0 ist."

Da blicke ich nicht ganz durch. Ist -∞; 0 steigend dann 0; 3 fallend und dann wieder 3; ∞ wieder steigend? So sehe ich das zumindest im Graphen.

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Ich weiß nicht welchen Graphen du genau betrachtest. Deine Angaben stimmen weder für f(x) noch für f'(x). Also bitte mal genau hinschauen.

PS: Es geht um die Monotonie von f(x) und nicht um die Monotonie der ersten Ableitung.

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Ich dachte es handelt sich um die Monotonie der 1. Abl. Bei der Monotonie von f(x) macht es jetzt natürlich Sinn. Danke, Mathecoach.

Answer 2

f ´( x ) = 0
f'(x) =  ( 4/9 ) x³ - ( 12/9 ) x² = 0
x^2 * ( 4/9 * x - 12 / 9 ) = 0
x = 0
und
4/9 * x - 12 / 9 = 0
4x - 12 = 0
x = 3

f ' ( x ) =  ( 4/9 ) x³ - ( 12/9 ) x² > 0 ( steigend )
Durch x^2 teilen. x^2 ist stets > 0 außer bei null
( 4/9 ) x - ( 12/9 ) > 0
4x - 12 > 0
x > 3

f ' ( x ) =  ( 4/9 ) x³ - ( 12/9 ) x² < 0 ( fallend )
Durch x^2 teilen. x^2 ist stets > 0 außer bei null
( 4/9 ) x - ( 12/9 ) < 0
4x - 12 < 0
x < 3

-∞ .. 3 fallend
3 .. ∞ steigend

Deine Antwort
falsch
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² = 0 -> Nullstellen
berechnen -> x² = 0 und x = 0
richtig
berechnen -> x² = 0 und x = 3

falsche Annahme
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² = 1 -> x² = 0 und
x = 5,25
richtig
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² > 0

falsche Annahme
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² = -1
richtig
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² < 0

Comments

Ich könnte schwören ich hätte bei der Nullstelle x=3 geschrieben. So hatte ich es bereits davor ausgerechnet. Naja, egal.

"falsche Annahme 
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² = 1 -> x² = 0 und x = 5,25 
richtig 
f'(x) = (4/9)x³-(12/9)x² > 0"

Ist das nicht richtig? 5,25>0 nicht?

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Meiner unmaßgeblichen Meinung nach
hast du den Fehler begangen die
sprachliche  Formulierung
Für welche x-Werte ist die 1.Abl größer als 0
mathematisch als
f ' ( x ) =  ( 4/9 ) x³ - ( 12/9 ) x²  > 1
zu schreiben. Du hättest auch > 2, > 3
schreiben können. Ist aber alles falsch.

Richtig ist
Für welche x-Werte ist die 1.Abl größer als 0
f ' ( x ) =  ( 4/9 ) x³ - ( 12/9 ) x²  > 0

Dasselbe gilt für
Für welche x-Werte ist die 1.Abl kleiner als 0
mathematisch richtig :
f ' ( x ) =  ( 4/9 ) x³ - ( 12/9 ) x²  < 0

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Also muss ich dafür gar kein Wert einsetzen. Gut. Dankeschön.

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Dann hat das Forum seinen Zweck erfüllt.
Du hast etwas dazugelernt.

Die richtige Vorgehensweise bei der
Bestimmung der Monotonie kommt bei
Kurvendiskussionen laufend vor.