Lineare Abbildung Vektorräume

Question

Gegeben sind Vektorräume V und W und eine lineare Abbildung f:V→W.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

v⃗ ,w⃗ ∈V

Answer 1

Hi !

Die Zeilen 1 und 3 folgen aus der Definition einer linearen Funktion.

Zeile 2 ist nicht allgemein gültig. Z.B. ist f(x) = 2x linear, aber f(1) = 2 ≠ 1.

Grüße

Comments

> Z.B. ist f(x) = 2x linear, aber f(1) = 2 ≠ 1.

Das macht Sinn im Vektorraum ℝ = V = W 

Da bleibt aber wohl noch zu kären, was  f(1) = 1 in einem allgemeinen Vektorraum V überhaupt bedeuten soll. Was ist 1 ∈ V ?

---

@Gorgar

Fehlt hier nicht noch eine Stellungnahme von dir?  Du bist doch sonst so wortkarg.

---

@Wolfgang: Das könnte grundsätzlich das neutrale Element der äusseren oder der innneren Verknüpfung sein. 

Bei der äusseren wird es hier explizit mit 1 bezeichnet. (S4) 

Bei der inneren ist es hier 0_(V) . (V2)

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Definition 

Gemäss Aufgabenstellung müsste 0_(V) gemeint sein, wenn es sich zufällig nicht um einen reellen Vektorraum handelt. 

Ausserdem:

Wenn etwas für alle Vektorräume gelten soll, muss es zwingend auch für R gelten. D.h. ein Gegenbeispiel in R ist genug. 

---

@Gorgar
Fehlt hier nicht noch eine Stellungnahme von dir?

Nein.

---

@Lu

> Das [ 1 ] könnte grundsätzlich das neutrale Element der äusseren oder der innneren Verknüpfung sein.

> Bei der äusseren wird es hier explizit mit 1 bezeichnet. (S4) 

Dann  gilt  1∈K   und f(1) macht keinen Sinn , weil i.A. 1∉V

> Bei der inneren ist es hier 0_v . (V2)

Wenn 1 = 0_v   , dann  wäre auch im reellen Vekrorraum   (ℝ,+,•)

1 = 0  und   das Gegenbeispiel  f(1) = 2 * 1 = 1 ( f(0) = 2 * 0 !)   würde nicht greifen!

> Gemäss Aufgabenstellung müsste 0_v gemeint sein, wenn es sich zufällig nicht um einen reellen Vektorraum handelt.

Ich denke, da muss man sich schon entscheiden :-)

> Wenn etwas für alle Vektorräume gelten soll, muss es zwingend auch für R gelten. D.h. ein Gegenbeispiel in R ist genug.

Das ist natürlich richtig, aber man sollte doch wohl die Sinnlosigkeit der "Aussage (?)"  f(1) = 1 in allgemeinen Vektorräumen nicht einfach kommentarlos übergehen, wenn man schon mit 1_v ≠ 0_v ∈ ℝ arbeitet. 

@gorgar

> Nein

vgl. oben meinen letzen Satz