Ist die Menge ein R-Vektorraum? U1:= {x=(x1,x2,x3)^T ∈ ℝ^3 : 2x1 + 3x2 - x3 = 0}

Question

 

ich habe Probleme diese Aufgabe zu bearbeiten, da ich nicht weiß wie ich das ganze mit den Regeln umsetzen soll.  

U₁:{x=(x₁,x₂,x₃)^T ∈ ℝ³ : 2x₁ + 3x₂ - x₃ = 0}

Also ich weiß, dass ich schauen muss ob

• Nullvektor

• Skalarprodukt

• Addition

zutrifft.

Aber wie gesagt, weiß ich nun nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll, wenn ich eine ganze Funktion gegeben habe.

Schon mal :) 

Answer 1

Hi,

deine Menge \(U_1\) ist ein Untervektorraum von \(\mathbb{R}^3\), d.h. insbesondere ein Vektorraum, da die Menge eine Ebene (also eine Hyperebene des \(\mathbb{R}^3\)) ist, die durch den Ursprung verläuft. Guck mal, ob du eine Bemerkung zu Hyperebenen in der Mitschrift hast.

Ansonsten kannst du auch zeigen, dass die Menge ein Untervektorraum ist indem du zeigst, dass

1.) \(x+y \in U_1 \) für alle \(x, y \in U_1\)

2.) \(\lambda \cdot x\) für alle \(\lambda \in \mathbb{R}\) und für alle \(x \in U\)

Außerdem muss \(U_1 \subseteq \mathbb{R}^3\) gelten, aber das ist natürlich erfüllt, da offensichtlich nur Elemente aus \(\mathbb{R}^3\) in \(U_1\) liegen.

Zu 1.)

Gilt \(x,y \in U\), so gilt:

\(2x_1+3x_2-x_3=0\) und \(2y_1+3y_2-y_3=0\)

Wir definieren \(z:=x+y\). Zu Überprüfen ist nun, ob \(2z_1+3z_2-z_3=0\) gilt.

Es gilt:

\( \begin{aligned} 2z_1+3z_2-z_3&=2 \cdot (x_1+y_1) + 3 \cdot (x_2+y_2) - (x_3+y_3) \\ &=(2x_1+3x_2-x_3)+(2y_1+3y_2-y_3) \\ &= 0+0 \\ &= 0 \end{aligned}\)

Somit ist \(z \in U_1\).

Versuche 2.) mal nun selbst :)

Comments

Vielen vielen Dank! Ich setz mich gleich mal dran und versuchs :)

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Ich hab so eine ähnliche Aufgabe und verstehe auch wie man den 1. Punkt beweist, aber wie geht es mit Punkt 2? 

Muss man dann schreiben c*2z(1)+c*3z(2)-c*z(1)=0 

Oder was muss es ergeben?  :)

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Ja, also das das gilt musst du zeigen :)