komplexes Polynom: von Nullstelle p(2+i)=0 auf: a*(x+2)*x(x-2-i)*(x-2+i)?

Question

Ich bereite mich gerade auf meine Mathe-Nachklausur vor.

Eine Übungsaufgabe lautet:

"Bestimmen Sie ein Polynom p(x) 2 R[x] vom Grad <= 4 über das Folgendes bekannt ist:
   - p(-2) = p(0) = 0 und p(1) = 12
   - Betrachtet man p(x) als komplexes Polynom, dann ist p(2 + i) = 0."

Da ich überhaupt nicht wusste, wie ich da rangehen sollte, habe ich in die Lösung geguckt.

Dort stand dann "2-i muss auch Nullst. von p(x) sein."

   > meine Frage warum? wieso?

Und dann kommt nur noch der Lösungsweg:

p(x) = a*(x+2)*x(x-2-i)*(x-2+i)

...

Dies dann nur noch ausmultiplizieren, a bestimmen und wieder ausrechnen. Fertig.

Aber wie kommt man auf diese Lösungszeile??? Und wieso werden die anderen Nullsten dann einfach ignoriert?

Answer 1

Hier ist  p(0) = p(-2) = p(2 + i) = p(2 - i) = 0. Damit existiert ein  a ∈ ℝ  mit
p(x)  = a·x·(x + 2)·(x - (2 + i))·(x - (2 - i)) = a·x·(x + 2)·(x² - 4·x + 5).
Aus  p(1) = 12  folgt  a·1·3·2 = 12, also ist  a = 2.

Answer 2

Hi

Gesucht ist ein reelles Polynom. Das bastelst Du Dir quasi zusammen:

p(-2) = 0;         -> (x +2)

p(0) = 0;          -> x

p(2 + i) = 0;     -> ( x -(2+i) )
 

"Dort stand dann "2-i muss auch Nullst. von p(x) sein."
 > meine Frage warum? wieso?"
Da es ein reelles Polynom sein soll gibt es keine komplexen Koeffizienten. (2+i) ist also aus einem quadratischen Glied entstanden, das im Reellen keine Nullstellen besitzt. Daher ist die Lösung eine komplexe Zahl und ihre Konjugierte. Es muss also zusätzlich gelten:

p(2-i) = 0; und damit (x -(2-i))


Dann ist noch gefordert:

p(1) = 12;   -> a


Nun kannst Du das Polynom aufstellen:

-> p(x) = a *x *(x +2) *( x -(2+i) ) *(x -(2-i));

Wenn Du jetzt alle aufgeführten x-Werte einsetzt (außer 1 natürlich) erhältst Du als Lösung immer 0.

 

Bestimmung von a: x = 1

p(x) = a *1 *(1 +2) *( 1 -(2+i) ) *( 1 -(2-i)) = 6a = 12;

a = 2;

 

-> p(x) = 2 *x *(x +2) *( x -(2+i) ) *(x -(2-i));

 

Ich hoffe es ist soweit nachvollziehbar. Bei Fragen -> Kommentar

 

lg JR

Comments

Danke an euch beide! Beides für sich sehr aufschlussreich.

Nun kenne ich das "Rezept" :)

Aber verstanden hab ich es noch immer nicht ganz genau :-/

Wie kommt man von den Nullstellen auf das "(x minus die Nullstelle)"  ?

Ich glaube zu wissen, dass das irgendwas mit Linearfaktoren zu tun hat. Aber was die bedeuten kapiere ich irgendwie nicht.

Und man hat jetzt quasi ein Polynom gebildet, welches auf jeden Fall durch die Nullstellen geht.

Aber der restliche Verlauf ist total egal? Man sucht nur ein Polynom, welches diese paar Bedingungen erfüllt, aber sonst könnte es total anders aussehen, als das ursprüngliche Polynom, von dem man ein paar Nullstellen/Punkte genommen hat. Sehe ich das richtig?

 für eure Mühe!

---

Wie kommt man von den Nullstellen auf das "(x minus die Nullstelle)"?
Den ganzen mathematischen Hintergrund kann ich Dir nicht erklären, da ich ihn nicht kenne. Ich kann Dir allerdings soviel sagen:
Du siehst das ganz richtig, das Polynom ist in seine Linearfaktoren zerlegt worden. Der Grund für die Schreibweise (x-a) ist einfach die Überlegung, wenn p(x) für x = a Null werden soll, dann muss es einen Faktor (x-a) geben. x = a; | -a;     x -a = 0; so einfach eben. Falls Du das genauer wissen willst - vielleicht eine mathematischere Erklärung haben willst - dann stell bitte eine neue Frage zu diesem Thema. Ich denke hier im Forum gibt es ein oder zwei Leute, die das gut beantworten können (Mister und Ché Netzer).

Aber der restliche Verlauf ist total egal?
So ist es. Du hast die angegebenen Bedingungen erfüllt, das wars. Ob das ursprüngliche Polynom anders ausgesehen hat weiß man nicht. Oder anders ausgedrückt: Es gibt noch unendlich mehr Funktionen, die auch durch diese Punkte verlaufen. Nur sind das Polynome höheren Grades.

---

Ich danke dir!

Diese Erklärung reicht mir erstmal völlig ;)

Schönes Wochenende noch!

---

Bitte sehr. Wünsche ich Dir ebenfalls.