Unendlich viele lokale Extrema Beweis (Analysis)

Question

 Sei \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definiert durch \(f(x) = 2 \sinh(x)\sin(x) - 3\cos(x)\).

Zeigen Sie, dass die Funktion \(f\) unendlich viele lokale Maxima und unendlich viele lokale Minima besitzt.

Wie kann man solche Aufgaben lösen?

Comments

ok verstanden kann die Frage dann gelöscht werden sodass ich sie neu verfasse?

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... schon passiert. Du brauchst nichts mehr machen.

Gruß Werner

Answer 1

sinh(x) ist für x > 0 immer > 0 und streng monoton steigend über alle grenzen.

Mit dem Faktor sin(x) der immer zwischen -1 und 1 schwankt diese Funktion immer zwischen extrem großen und extrem kleinen werten hin und her. Damit schneidet sie auch immer wieder die x.Achse. Dabei spielt es keine rolle von mit 3cos(x) dabei immer mal 3 addiert oder subtrahiert werden.

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Du kannst zwei folgen betrachten

an = 2·SINH(2·pi·n + pi/2)·SIN(2·pi·n + pi/2) - 3·COS(2·pi·n + pi/2) = 2·SINH(2·pi·n + pi/2)

bn = 2·SINH(2·pi·n + 3/2·pi)·SIN(2·pi·n + 3/2·pi) - 3·COS(2·pi·n + 3/2·pi) = - 2·SINH(2·pi·n + 3/2·pi)

Du siehst es gibt unendlich viele Werte oberhalb und unterhalb der x-Achse und wegen der Stetigkeit auch unendlich viele Nullstellen.

Da zwischen den Nullstellen abwechsend immer ein lokales Maximum oder Minimum existiert gibt es dazu auch unendlich viele.

Answer 2

Bilde die 1. Ableitung und entscheide mit der 2. Ableitung, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.

Comments

Kannst du das bitte vorrechnen?

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das kannst Du sicher selber :-)

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Das ist einfach nur wie Beweise ich das es unendlich viele sind

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f ist stetig. Darum werden alle Werte zwischen z.B. limsup und liminf immer wieder angenommen. Sie sind alle Häufungspunkte und reelle Intervalle enthalten immer unendlich viele Elemente.

(Nachtrag @davinci: Kommentar bezieht sich eher auf die Antwort von Mathecoach)