Koordinatensystem - Rotation

Question

Ich habe diverse Fragen zu diversen Aufgaben in einem Koordinatensystem. Zunächst einmal versuche ich bei einem Koordinatensystem ein Triangle bzw. ein Polygon mit drei Punkten rotieren zu lassen. Die verwendete Formel lautet:

x' = x
y' = y * cos(alpha) - z * sin(alpha)
z' = y * sin(alpha) + z * cos(alpha)

Bei dieser Formel nähern sich die Punkte grundsätzlich immer 0 an. Bis diese schließlich nach zig Durchläufen bei 0 enden.

Die Punkte:

P1 = (0,0,0)
P2 = (0,100,0)
P3 = (100,0,0)

Sollte ich noch eine benötigte Angabe vergessen haben, bitte kurz Bescheid geben.

Answer 1

  Unser Assistet Gottschalk  riss sich im letzten Augenblick immer zurück; da fiel ihm ein, dass  Verbalinjurien unstatthaft sind.  Der Typ hatte eine ganz eigene Form von Zynismus; wenn jemand absoluten Zinnober geschwätzt hatte

  " Herr Meyer; Sie müssen was tun. "

   Drehmatrizen ( unitäre Matrizen ) sind dadurch definiert, dass sie die Länge ( Norm ) jedes Vektors erhalten - zu ihrer Definition teicht das völlig aus.

   Du scheinst zu glauben, dass Drehmatrizen  ===>  nilpotent sind .

   Strafarbeiten und Nachsitzen

   1) Konstruiere Beispiele für nilpotente Matrizen.

   2) Warum sind Drehmatrizen nicht nilpotent?  ( Möglichst viele Gründe benennen, damit du kapierst, in welchem Film dass du bist. )

   3) nilpotente Matrizen haben Spur Null und Determinante Null -  warum?  Vergleiche diese beiden Aussagen mit deiner Drehmatrix.

Comments

Ich hatte mich bei meinem Script scheinbar immer auf die falschen Werte bezogen. Anstelle dem alten bzw. ersten Wert von x nahm ich direkt wieder x'... dadurch kam die falschen Werte zustanden und der Kreis wurde immer kleiner. Nun stimmt alles. Ich bedanke mich für deine schnelle Antwort.

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Drehmatrizen ( unitäre Matrizen ) sind dadurch definiert, dass sie die Länge ( Norm ) jedes Vektors erhalten - zu ihrer Definition teicht das völlig aus.

Na  na! Was hätte wohl der Assistent Gottschalk dazu gesagt? Alle Drehmatrizen sind unitär, aber nicht alle unitären Matrizen sind Drehmatrizen. D.h. die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend.

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  Tierisch weurde der Gottschalk eigentlich nur in Grundsatzfragen. Ansonsten war der sehr hilfsbereit. Einmal z.B.  fragte er

    " Herr Meyer; was wissen Sie über lineare Unabhängigkeit? "

   " Da ist die Determinante Null. "

   ( fast im Flüsterton )  " Herr Meyer; Sie müssen was tun ... "

   Also ich habe ja das ganze Zeug gelernt aus dem QM Lehrbuch von Eugen Fi ck  ( wenn man mal absieht vom Kowalsky und unserem AGULA Prof Kerner )

   Und da habe ich mir eben fest eingeprägt: Ein Operator ist genau dann unitär, wenn er die Norm erhält.

  Doch ich kenne ihn, diesen Nebenkriegsschauplatz. Unser Harri Thomas ( Schriftleiter der Zeitschrift für Physik ) war nämlich super genau.   Bei ihm erfuhr ich, dass die reelle O ( n ) grundsätlich zwei Zusammenhangskomponenten hat.  Wie notiert man die komplexe unitäre Gruppe? Keine Ahnung; die hat nämlich nur eine.

   Ich will nicht ausschließen, dass du mir Nachhilfeunterricht erteilen kannst in Liegruppen;  du weißt doch. Dr Geist ist willig.   So Vieles wollte ich schon im Leben; u.a. auch Altgriechisch lernen.

   Aber der Tag hat nur 48 h ( wenn man die relativistische Zeitdehnung mitrechnet. )  Und so blieben halt nach dem Studium allzu viele Baustellen unerledigt liegen ...

   Sieh's doch so. Bis Heite hab ich ( als Physiker ! ) die diracgleichung net kapiert.  Natürlich könnt ich diesen ganzen Quatsch mit Alfa-ß-und Gammamatrizen auswändig lernen.  Aber gerade du wirst doch wissen: Auswändig Lernen eines Textes bringt dich dem lebendigen Verständnis kein Jota näher.

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Und da habe ich mir eben fest eingeprägt: Ein Operator ist genau dann unitär, wenn er die Norm erhält.

Was IMHO völlig richtig ist, so steht es auch bei Wiki. Woran Du vielleicht nicht gedacht hast, ist die Tatsache, dass eine Spiegelung auch die Norm erhält und also auch eine unitäre Transformation ist. Das ist aber eben keine (reine) Drehung. Der feine Unterschied spiegelt sich dann (schon wieder ein Spiegel) im Vorzeichen der Determinante.

Wir hatten die Diskussion doch schon mal! Ich fragte Dich damals:

Ist dies eine Rotationsmatrix? $$\begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\sqrt3 \\ \frac12\sqrt3 & -\frac12\end{pmatrix}$$

Der (ausführliche) Kommentar, der dann Deinerseits folgte, konnte ich allerdings meiner Frage nicht mehr zuordnen :-/

PS.: von Lie-Grupen weiß ich rein gar nichts, und auswendig lernen brauche ich den Fakt, dass die Determinate =1 (und nicht =-1) sein muss, auch nicht, da ich in der Praxis (leidvoll) gelernt habe, dass die Dinger mit der -1 nur Ärger machen!

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  Ich wies dich sei er Zeit darauf hin, dass deine Beispielmatrix P Hermitesch ist ( Sieht man )  Also

      P  =  (P+)

   Als unitäre Matrix erfüllt sie

     P  (P+)  =  P  ²  =  1

    Eine Hermitesche Matrix, die ( P ² = 1 ) erfüllt, heißt Parität. Ich dächte, das hätte schon mit deiner Bemerkung zu tun; die jeweiligen Eigenzustände von P klassifizieren nach gerader bzw. ungerader Parität.

Answer 2

Scheinbar konnte ich meine Frage mir eben selber beantworten: ich hatte immer anstelle von x direkt wieder x' genommen, sprich nicht den alten Wert verwendet, sondern gleich den neu errechneten. Dadurch wurde der Kreis natürlich immer kleiner...

Comments

EDIT: Habe aus deinem Kommentar ausnahmesweise eine Antwort gemacht. Vielleicht will ja jemand noch spzifisch darauf reagieren.