Zeigen, dass Funktion differenzierbar ist

Question

Es ist die Funktion $f: [0,1) \to \mathbb{R}$ gegeben mit

$f(x)=\begin{cases} x^{3/2} · sin(1/x) \text{ für } x \in (0,1) \\ \text{0 für x=0} \end{cases}$

Wie überprüft man hier, ob die Funktion differenzierbar ist?

Das Intervall für $$x^{3/2}·sin(\frac{1}{x})$$ ist ja (0,1). Wie zeigt man die Differenzierbarkeit für das ganze Intervall?

Comments

sin ( 1 / x ) für x = 0
1 / 0 nicht definiert
sin ( ∞ ) nicht definiert

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Was ist damit beantwortet?

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Du musst also nur noch Differenzierbarkeit in 0 prüfen.

Answer 1

Wie zeigt man die Differenzierbarkeit für das ganze Intervall?

Für x ∈ (0, 1) ist f mittels Verkettung, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetz. Also ist f dort differenzierbar.

Für x = 0 musst du Wohl oder Übel auf die Definition der Differenzierbareit zurückgreifen.