Definitionsbereich so angeben, dass f (nicht) stetig und (nicht) wohldefiniert ?

Question

 Sei f eine Funktion mit f: D→R,

f(x) =    (1/(x²-4)) für x≤0

           -1/2 für x>0


Geben Sie - sofern möglich - jeweils einen                                                                                                                                Definitionsbereich D so an, dass f
i)  wohldefiniert, aber nicht stetig,
ii)  wohldefiniert und stetig,
iii)  stetig, aber nicht wohldefiniert ist.

Erinnerung:
Eine  Funktion f ist  genau  dann  durch  Definitionsmenge D
,Wertebereich W und Funktionsvorschrift f (x)
wohldefiniert, wenn  JEDEM x∈D ein  EINDEUTIGES
f(x)∈W zugeordnet wird.

Begründen  Sie  ihre  Wahl  in  (i)  -  (iii)  durch  geeignete  Rechnungen.

Comments

Stimmen die Klammern am Anfang? D.h.

meinst du https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Fx%5E(2)-4) ?

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Es soll (1/(x²-4)) sein.

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EDIT: Habe diese Klammern in der Frage ergänzt.

Answer 1

Sei f eine Funktion mit f: D→R,
f(x) =    (1/(x^2-4)) für x≤0

          -1/2 für x>0

Definitionslücken bei x² - 4 = 0

D.h. bei (x-2)(x+2) = 0. x1 = 2, x2 = -2. Beide Definitionslücken sind einfache Pole mit vertikaler Asymptote. Aber nur bei x = -2 wird überhaupt mit dem Bruchterm gerechnet.  

Somit maximal möglich D = R \ {-2} 

Nun lim_(x->0) (1/(x² - 4)) ausrechnen. lim_(x->0) (1/(x² - 4)) = 1/(0-4) = -1/4 ≠ -1/2 

Geben Sie - sofern möglich - jeweils einen                                                                                                                                Definitionsbereich D so an, dass f
i)  wohldefiniert, aber nicht stetig,

D = R \ {-2}                | blaue Rechnung oben. 
ii)  wohldefiniert und stetig,

D = ]-2, 0 [                | einfach einen Teilbereich wählen, wo alles passt. 
iii)  stetig, aber nicht wohldefiniert ist.

f ist in D = ]-∞, 0[ stetig, da Stetigkeit nur dort zu prüfen ist, wo die Funktion definiert ist.

f ist in D = ]-∞, 0[ nicht wohldefiniert, das f für x = -2 nicht definiert ist. 

Illustration behelfsmässig! Farben stimmen nicht. Es handelt sich um eine Funktion. D.h. nur eine Farbe verwenden und die Färbung der x-Achse sowie vertikale Abstufungen bei x=0 weglassen.

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f₁(x) = 1/(x²-4)(x<0)f₂(x) = (-1/2)·(x>0)x = -2