Stetigkeit, Variablen, Abbildungen

Question

ich brauche hilfe bei der folgenden Aufgaben ´=).

Ein Abbildung f : Rⁿ → R^m

heißt linear, wenn f(a · x) = a · f (x), f (x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y ∈ Rⁿ und alle a ∈ R gilt. Der Einfachheit halber arbeiten wir im Folgenden mit n = m = 2.
(a) Verwenden Sie die obige Definition um zu zeigen, dass jede lineare Abbildung f : R² → R² stetig ist.
(b) Eine Abbildungen f : R² → R² ist genau dann linear, wenn sie von der Form f (x) = Ax für eine Matrix A ∈ R^2×2 ist.
Verwenden Sie diese Charakterisierung um einen weiteren Beweis dafür zu geben, dass jede lineare
Abbildung f : R² → R² stetig ist.

Loseung:

a) Soll ich einfach sagen, dass f(a · x²) = a · f (x²), f (x² + y²) = f (x²) + f (y²) für alle x, y ∈ R²  ?
b) kann jemand mir sagen wie man es löst da ich keine Ahnung habe.

Comments

a) Soll ich einfach sagen, dass f(a · x²) = a · f (x²), f (x² + y²) = f (x²) + f (y²) für alle x, y ∈ R²  ?

Man fragt sich, was die Quadrate sollen (wie quadriert man einen Vektor?), und warum das dann was mit der Stetigkeit von f zu tun haben soll. Weisst Du ueberhaupt, was Stetigkeit ist? Kannst Du dafuer die Definition oder Kriterien angeben? Man hat sogar den Eindruck, Du kannst nicht mal mit der Bezeichnung ℝ² was anfangen ...

Answer 1

Wenn R die Menge der reellen Zahlen ist, ist R² die Menge aller Paare (x, y) aus reellen Zahlen. Vlt hilft dir dieser Ansatz schon weiter.