wie bestimme ich polstellen von gebrochen rationalen funktionen

Question

oben ist frage, bitte wenn überhaupt verständlich erklären auch für (noch)nicht mathematiker danke, und gibt es noch andere funktionstypen außer algebraische Funktionen wo polstellen ermittelt werden müssen, würde mich interessieren.mfg

Answer 1

  Ja auch ===> rranszendente ( also nicht algebraische ) Funktionen können Pole haben; betrachte etwa

       f  (  x  )  :  sin  (  x  )  /  x  ²       (  1  )

     Und zwar ist dies ein Pol  ERSTER , nicht zweiter Ordnung. wie sieht man das? Die Funktion

    g  (  x  )  :=  x  f  (  x  )  =  sin  (  x  )  /  x       (  2a  )

     wird für  x  = 0 nicht Null; du hast

         g  (  0  )  =  1       (  2b  )

Answer 2

Eine gebrochen Rationale Funktion der Form f(x) = Z(x) / N(x), mit Z(x) als Zählerpolynom und N(x) als Nennerpolynom, hat Polstellen dort, wo der Nenner 0 und der Zähler ungleich 0 wird.

Comments

und wie bestimme ich sie rechnerisch ?

Was sind gerade, ungerade Polstellen?

mfg danke

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... hat Polstellen dort, wo der Nenner 0 und der Zähler ungleich 0 wird.

Eine Polstelle kann bei einer Nullstelle x₀ des Nenners  auch dann vorliegen, wenn der Zähler dort auch den Wert 0 hat:
f(x) = (x-1) / (x-1)² hat zum Beispiel die Polstelle x₀ = 1

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Fälschlicherweise war ich davon ausgegangen, dass gemeinsame Nullstellen gekürzt worden sind. Das hatten wir zumindest immer als erstes gemacht.

f(x) = (x - 1)/(x - 1)^2 = (x - 1)/((x + 1)·(x - 1)) = 1/(x + 1)

Deine Definition klingt aber besser.

Answer 3

Hallo

 immer wenn im Nenner einer Funktion Nullstellen sind, die nicht auch Nullstellen des Zählers sind hat man Polstellen, denn wenn man eine endliche Zahl (Zähler) durch Zahlen nahe 0 dividiert, wird das ergebnis riesig, man sagt für x->0 geht die funktion gegen ∞. und spricht von einer Polstelle. f(x)=1/(x^2-1) hat also eine Polstelle bei x=+1 und eine bei x=-1

bei x=-1,001 ist f>0 bei x=-0,999 f<0 mah aht also eine Polstelle mit Zeichenwechsel links von -1 geht die fkt gegen +∞, rechts davon gegen -∞, bei x=+1 geht die fkt von -∞ nach +∞, die fkt 1/sin(x) hat Pole bei x=k*π. und natürlich gibt es noch viel andere funktionen mit Nullstellen, wenn die im Nenner stehen gibt es Pole.

Gruß lul

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immer wenn im Nenner einer Funktion Nullstellen sind, die nicht auch Nullstellen des Zählers sind hat man Polstellen,

Eine Polstelle kann bei einer Nullstelle x₀ des Nenners  auch dann vorliegen, wenn der Zähler dort auch den Wert 0 hat:

f(x) = (x-1) / (x-1)² hat zum Beispiel die Polstelle x₀ = 1

Answer 4

eine gebrochenrationale Funktion Z(x)/N(x) hat genau dann eine Polstelle x₀, wenn N(x₀) = 0 gilt und sich der zu zugehörige Linearfaktor x - x₀  im Nenner nicht vollständig wegkürzen lässt.

Beispiel:

$$ f(x)=\frac { (x-1)· (x-2)· (x-3)  }{ (x-2)^2 · (x-3) ·(x-4) }$$

hat die Polstellen x=4 und x=2

Gruß Wolfgang 

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Wie kommt man jetzt auf die Polstellen, ich habe es noch nicht verstanden. Wäre sehr nett wenn sie mir bitte helfen ( Beispiele )

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Und bei den Nullstellen berücksichtigt man dann nur den Zähler um sie heraus zu bekommen also den Term = 0 setzen?