lineare Gleichungssystem Ax=b

Question

A=

p	4	5
5	p	-2
0	p	4

b=

-2

2

-2

 Aufgabe: Bestimmen Sie die Menge aller p ∈ℝ für die lineare Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.

p∈= ?

Kann mit der Aufgabe leider nichts anfangen. Könnt ihr mir dabei helfen, die Aufgabe zu lösen ? 
:)

Answer 1

Hallo

du löst das GS wie üblich nach Gauss,  vorsicht, beim dividieren durch p oder mult mit p p=0 ausschließen., dann stellst du fest, für welche p es keine eindeutige Lösung gibt.

Gruß lul

Answer 2

$$ A\cdot x=b $$

$$ x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} p&4&5\\5&p&-2\\0&p&4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-2 \end{pmatrix}\\ \Leftrightarrow\\ \begin{pmatrix} px_1&4x_2 &5x_3\\5x_1&px_2&-2x_3\\0x_1&px_2&4x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\\-2 \end{pmatrix}\\ \Leftrightarrow\\ \begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc|c} p&4&5  &\rm -2  \\5&p&-2&\rm  2 \\0&p&4  &\rm -2 \end{array}\right) \end{aligned} $$

Und jetzt hier am besten den Gauß-Algorithmus anwenden, um dann das lineare Gleichungssystem zu lösen. Dann hast du auch den Wert für p raus und kannst daraus bestimmen, wann es keine eindeutige Lösung gibt.

Comments

Ich komme leider damit nicht klar :/ Könnt ihr mir zeigen, wie ihr auf das Ergebnis kommt?

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Meinst du, wie man auf das Gleichungssystem kommt oder wie man es löst?

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Wie man es löst :)

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Ok. Das ist nicht so schwer. Gerade mit dem Gauß-Algorithmus geht das recht flott und ist übersichtlich. Habe es mal hier vorgerechnet.

Du musst das LGS auf Zeilenstufenform bringen. Das bedeutet, du musst durch Zeilenumformungen Nullen unter dieser ,,roten Treppe'' erzeugen. Am Ende wertest du unten das Ergebnis aus und ziehst deine Schlussfolgerungen.

Warum hat mich interessiert, wann dieser Term Null wird? Ganz einfach. Ich darf nicht durch Null teilen und muss schauen, für welche p denn nun dieser Term Null wird. Für alle anderen p wird es immer lösbar sein.