Eigenschaft zweier in ein Polynom eingesetzter Matrizen nachweisen

Question

Hallo liebe Leute, ich hänge gerade ein bisschen bei einer Aufgabe. Sie lautet: Sei A∈ℂ^{nxn} und p(x),q(x) mit p(A)*q(A) = 0 und ggT(p(x),q(x))=1. Zeige, dass im q(A) = ker p(A).

Kann ich folgendes sagen? Da p(A)*q(A) = 0 gilt, muss p(A)=0 oder q(A)=0 gelten. Beide können es nicht sein, da das sonst im Widerspruch zu ggT(p(x),q(x))=1 steht. Angenommen p(A) = 0, dann folgt ker p(A) = ganz V. So jetzt fehlt mir aber ein bisschen das Argument, das im q(A) regulär sein soll. Nur weil ggT(p(x),q(x))=1 gilt, kann man nicht argumentieren oder?

Mit der Bitte um Hilfe,

lg Mathstiger

Comments

Da p(A)*q(A) = 0 gilt, muss p(A)=0 oder q(A)=0 gelten.

Aber nie im Leben, bei Matrizen gibt es doch Nullteiler. Einfaches Gegenbeispiel ist \(p(X)=X-1\), \(q(X)=X-2\) und \(A={1\,0\choose0\,2}\). Du hast wohl noch nie explizit nachgerechnet, wie ein Minimalpolynom funktioniert.

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Ich muss zugeben, ich hab jetzt schon 100-mal auf diversen Seiten, das Minimalpolynom gelesen, nur haben wir es nie gemacht. Wie kann man diese Aufgabe dann ohne Minimalpolynom angehen?

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Ich hab nicht gesagt, ob man das Minimalpolynom braucht oder nicht. Jedenfalls ist pq das Minimalpolynom von A, mithin (pq)(A) = p(A)q(A) = 0, aber p(A) ≠ 0 und q(A) ≠ 0. Du koenntest was für Deine Bildung tun und das nachrechnen. Und wer weiss, vielleicht hilft das sogar für die Aufgabe. Denn Du brauchst ja jetzt eine andere Idee.

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Naja wir haben eh bewiesen, dass wenn man A ins charakteristische Polynom einsetzt. Dann p(A) = 0 rauskommt. Das heißt pq(A) ist entweder Vielfaches oder das charakteristischen Polynom selbst, Teiler geht nicht, wegen der ggT Eigenschaft. Nur was ich da jetzt gewonnen hab seh ich nicht noch.

LG Mathstiger

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Es muss sogar Vielfaches sein, weil im anderen Fall auch die ggT Eigenschaft verletzt wird

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Tatsaechlich ist es so, dass pq ein Vielfaches des Minimalpolynoms sein muss. Das steckt naemlich in jedem Polynom drin, das von der Matrix annulliert wird. Die Teilerfremdheit von p und q bedeutet, dass p und q keine gemeinsamen Linearfaktoren haben.

Die Beziehungen \(\operatorname{Bild}q(A)\subset\operatorname{Kern}p(A)\) und \(\operatorname{Bild}p(A)\subset\operatorname{Kern}q(A)\) sind uebrigens trivial. Du muesstest noch was für Gleichheit anstatt nur Teilmenge finden. Bin gespannt.

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Gut, die eine Richtung ist wirklich einfach. p(A)*q(A) kann man als Hintereinanderausführung von lineare Funktionen sehen. Das heißt es steht da: f_p(f_q(A))=0, da sieht man schon dass das ganze Bild von q(A) im Kern von p(A) ist.

Bei der Umkehrung hab ich jetzt aber ein paar Probleme. Da die Hintereinanderausführung von linearen Funktionen wieder linear ist und die Matrix 0 ist, d.h. idempotent, gilt schon hier nach dem Lemma von Fitting, das gilt: im pq + ker pq = V. Ker von 0 ist V. Das heißt es reicht zu zeigen, dass q(A) ganz V ist, das heißt regulär ist. Jetzt hätte ich irgendwie angefangen versuchen per Widerspruch zu argumentieren: Angenommen es gäbe einen Vektor, der nicht im Bild von q(A) aber trotzdem im Kern von p(A), dann kann q(A) nicht regulär sein. Jetzt müsst ich doch irgendwie einen Widerspruch zu ggt Eigenschaft konstruieren können. Nur seh ich jetzt nicht ganz den Weg, wie ich das machen kann...

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dass q(A) ganz V ist, das heißt regulär ist.

\(q(A)\) ist eine Matrix aus \(\mathbb{C}^{n\times n}\), \(V\) ist \(\mathbb{C}^n\). \(q(A)\) ist i.Allg. nicht regulaer und nie "ganz \(V\)".

Du kannst eine Hauptraumzerlegung machen und annehmen, dass \(A\) Jordanform hat. Dann kannst Du Dir anschauen, wie ein maximaler Faktor \((A-\lambda E)^\mu\) von \(p(A)q(A)\) auf die Hauptraeume wirkt. Wenn \(\lambda\) ein Eigenwert ist, wird der zugehoerige Hauptraum auf \(\{0\}\) abgebildet und die anderen bijektiv auf sich selber. Wenn \(\lambda\) kein Eigenwert ist, werden alle Hauptraeume bijektiv auf sich selber abgebildet. Da \(p\) und \(q\) keinen gemeinsamen Faktor haben, killt \(q(A)\) einen Teil der Hauptraeume und laesst die anderen komplett stehen. \(p(A)\) ist dann gerade dafuer da, die restlichen Hauptraeume zu killen, tut aber den anderen nichts. Ergo: \(\operatorname{Bild}q(A)=\operatorname{Kern}p(A)\) und \(\operatorname{Bild}p(A)=\operatorname{Kern}q(A)\).

Kann gut sein, dass es auch einen simplen Ad-hoc-Beweis gibt. Den muesstest Du aber selber finden. Womoeglich kann man mit \(E=g(A)p(A)+h(A)q(A)\) was anfangen? Daraus folgt z.B., dass die Kerne von \(p(A)\) und \(q(A)\) nur den Nullvektor gemeinsam haben. Mit den trivialen Inklusionen von oben dann das Gleiche für die Bilder. Probiere aus, ob das schon reicht.

Answer 1

Ja also, der simple Ad-hoc-Beweis existiert wie erwartet: Man braucht bloss die triviale Inklusion \(\operatorname{Bild}q(A)\subset\operatorname{Kern}p(A)\) und die aus der Lineardarstellung des \(\operatorname{ggT}\) folgende Tatsache \(\operatorname{Kern}p(A)\cap\operatorname{Kern}q(A)=\{0\}\). Betrachte \(\operatorname{Kern}p(A)\oplus\operatorname{Kern}q(A)\) und sag ein paar gescheite Worte zur Dimension davon.