Wie komme ich auf 4 Nebenbedingungen ?

Question

Gesucht ist der Vektor (x1,x2,x3,x4) minimaler Länge mit den Eigeschaften:

a) Die Summe seiner Komponenten beträgt 37

b) Die Summe seiner ersten beiden Komponenten ist um 7 größer als die Summe seiner letzten beiden Komponenten

c) Die Summe seiner zweiten und dritten Komponente ist um 5 größer als die Summe seiner ersten und letzten Komponente

ich bin bisher auf

x1 + x2 + x3 + x4 = 37

x1 + x2 = 7 + x3 + x4

x2 + x3 = 5 + x1 + x4

bzw.

x1 + x2 + x3 + x4 = 37

x1 + x2 - x3 - x4 = 7

-x1 + x2 + x3 - x4 = 5

gekommen.

Jetzt fehlt mir aber ja noch eine Nebenbedingung,auf die ich nicht komme, um das Gleichungssystem lösen zu können.

Hat da jemand eine Idee oder Lösung? :D Hab ich einen komplett falschen Ansatz gewählt um die Aufgabe zu lösen `?

für jede Antwort.

Answer 1

Angenommen, Dein GLS ist korrekt, dann kannst Du es auflösen nach x4=x

\( \left\{  \left\{ x1 = -x + 16, x2 = x + 6, x3 = -x + 15 \right\}  \right\} \)

Dein Vektor lautet dann

\(X \, :=  \,  \left\{ -x + 16, x + 6, -x + 15, x \right\}^T \)

dann das Skalarprodukt X*X und daraus die Norm oder Länge

\(f(x):=\sqrt{\left(-x + 16 \right)^2 \;  +  \left(x + 6 \right)^2 \;+  \left(-x + 15 \right)^2 \;+ x^2  }\)

\(f(x) \, :=  \, 4 \; x^{2} - 50 \; x + 517\)

und davon suchst Du das Minimum...

Comments

danke schonmal für die Antwort. Aber wie du auf x4= x kommst ist mir grad nicht ganz klar.

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Ich war einfach zufaul jedesmal x4 zu schreiben - Namen sind Schall und Rauch...

Answer 2

  Geht doch glatt auf. Drei   NB ermöglichen dir, drei Komponenten zu eliminieren . Dann hast du aber ein gewöhnliches Extremwertproblem in einer Variablen .

   Ich schaff mich hier tot - und lerne gleich dazu auch nochwas. Und du beobachtest mich nicht mal ...

   Weil erst gestern hatte ich so'ne Aufgabe . Und da präsentierte der Mathechef eine tierisch einfache Lösung . Die inspirierte mich dann, meine eigene Lösung vorzulegen:  ===>  implizites Differenzieren ( ID )

   "  Aha.  Immer wenn diese Hausnummer dran kommt,  musst du statt Lagrange ID  anwenden. "

    Im Gegentum zu Lagrange ist ID auch Schülern einsichtig zu machen:

       x1  +  x2  +  x3  +  x4  =  37      (  1a  )

     1  +  x2  '  +  x3  '  +  x4  '  =  0     (  1b  )

    x2  '  +  x3  '  +  x4  '  =  (  -  1  )     (  1c  )

   x1  +  x2  -  x3  -  x4  =  7     (  2a  )

    x2  '  -  x3  '  -  x4  '  =  (  -  1  )          (  2b  )

    x2  +  x3  -  x1  -  x4  =  5     (  3a  )

    x2  '  +  x3  '  -  x4  '  =  1     (  3b  )

    Zu lösen ist das LGS (  1c;2b;3b )   Das sind jetzt klassische gewöhnliche Zahlen; das kannst du. Was mir hier ganz ganz wichtig ist:  Hast du eigentlich noch die Bodenhaftung zu dem, was hier abgeht; weißt du, in welchem Film dass du bist?

   Im |R  ³  schneiden sich zwei Ebenen i.A. in ihrer Knotenlinie . Wir hier befinden uns in der von euch so oft beschworenen 4 . Dimension .  Und jede der Gleichungen ( 1a;2a;3a )  beschreibt eine 3 D  ===>  Hyperebene in 4 Dimensionen . Das ist  nix weiter als die vierdimensionale Verallgemeinerung unserer 3 D Anschauung . Und wenn du bissele  AGULA  hattest mit Matrizen und Rang und so . Dann lässt sich zeigen:  Auch drei Hyperebenen im  |R  ^  4  schneiden sich in einer Spurgeraden, ihrer Knotenlinie . Die hat so eine Gleichung der Art

          x2;3;4  =  x2;3;4  (  x1  )      (  4  )

    Das ist genau der Punkt. Wir bewegen uns längs der Geraden ( 4 ) und fragen: Welcher Punkt hat den kleinsten Abstand vom Ursprung?   Und da brauchen wir eben für die Kettenregel erst mal die ganzen Ableitungen .

   In  ( 1c;2b ) erkennst du doch unmittelbar

       x2  '  =  (  -  1  )       (  5a  )

       x3  '  +  x4  '  =  0     (  5b  )

     Dann muss aber in ( 3b )

     x3  '  -  x4  '  =  2  ===>  x3  '  =  1  ;  x4  '  =  (  -  1  )      (  5c  )

   Ach übrigens; ID ist kolossal wichtig - die modernste Art des Differenzierens überhaupt. Ich bekam hier mal eine " beste Antwort "   für eine Aufgabe mit ID , weil ich zusätzlich zu der geforderten Aufgabe noch die gesamte Kurvendiskussion der Funktion aus der ID ableitete .

   Wir suchen also den Punkt der Knotenlinie mit minimalem Abstand und bedenken stets die Kettenregel so wie ( 5ac )

   F  (  x1  ;  x2  ;  x3  ;  x4  )  :=  x1  ²  +  x2  ²  +  x3  ²  +  x4  ²  =  min    (  6a  )

 F  '  (  x1  ;  x2  ;  x3  ;  x4  )  =  2  (  x1  -  x2  +  x3  -  x4  )  =  0    (  6b  )

   Zu lösen ist das  LGS   ( 1a;2a;3a;6b )

   " Na wer sagt denn, dass der Löwe kein Schmalz frisst? "

   wie unser Dr. Frank immer zu sagen pflog .

    Dieses LGS lässt sich wunderbar separieren; wer einen schnelleren Trick sieht, der melde sich .   Additionsverfahren  (  1a  )  +  (  2a  )

    x1  +  x2  =  22     (  7a  )

    (  3a  )  möchte ich nochmal umstellen.

     (  x1  -  x2  )  +  (  x4  -  x3  )  =  (  -  5  )     (  3a  )

     Und in dieser Form addierst du  (  6b  )

     x1  -  x2  =  (  -  5/2  )     (  7b  )

   Weil ( 7ab ) sind der Prototyp eines  LGS ;   wenn möglich bildest du immer die symmetrische und die antimetrische Linearkombination. Die Lösung ist immer die selbe

    x1  =  aritm. Mittelw. (  22  ;  -  5/2  )  =  39/4       (  7c  )

    x2  =  halbe Diff.  (  22  ;  -  5/2  )  =  49/4       (  7d  )

    einsetzen von  (  7a  )  in  (  1a  )

      x3  +  x4  =  15      (  8a  )

   einsetzen von ( 7b ) in ( 6b )

     x3  -  x4  =  5/2      (  8b  )

    mit der analogen Lösung

    x3  =  35/4  ;  x4  =  25/4      (  8c  )

  Dieses  LGS  ( 1a;2a;3a;6b )  ist ===> Arndt Brünner überprüft; für evtl.  Flüchtigkeitsfehler übernehme ich keine Pistole .

Comments

Danke für die doch sehr ausführliche Erklärung. Da muss ich mich erstmal reinarbeiten. Lagrange sagt mir was aber ID muss ich nochmal genauer nachgucken dann kann ich deine Lösung auch bestimmt nachvollziehen. Momentan weiß ich nicht in welchem Film ich bin aber mit der Erklärung und noch etwas recherche sollte das kein Problem sein. DANKE !!

Leider hab ich das Konto hier erst erstellt nachdem ich die Frage gestellt habe, sonst würde ich dir die hilfreichste Antwort geben. Falls ich das irgendwie machen kann auch wenn ich die Frage als Gast gestellt hab, lass es mich wissen.

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  Von der Konzeption her ist ID entschieden einfacher als Lagrange . Obwohl man im konkreten Fall ausprobieren muss, welches Verfahren schneller zum Ziel führt .

   Hast du übrigens jemals den Franzkurs " Les Gammas "  gesehen?  Gibt's bestimmt auf DVD - nur wenn du mal so rihtig von Herzen lachen willst .

   Lange hatten die Franzmänner ja nichts unternommen; Kurse für Englisch, Spanisch und Italienisch gab es ja en masse. Aber dann zogen sie nach - und übertrumpften dabei noch alle konkurrierenden Sprachen.

   Die  außerirdischen  " Gammas "  vom Planeten " Gamma "   erleiden einen Unfall und sind mit ihrer Weltraumkugel in  dem Dorf  Brezolles in Burgund abgestürzt . Ihre Sprache besteht nur aus den beiden Silben " GA " und " MA "  Aha; sie müssem Französisch lernen - und wir mit ihnen.

    " Magga ga gam? "

   " Gagga ga ma ... "

   Warum heißen die Gammas überhaupt " Gammas "  ?  Ich habe es raus gekriegt. A propos 4. Dimension; jeder weiß, dass eine Weltraumkugel aber mindestens vier-wenn nicht gar n-dimensional ist. Der Redakteur erkundigt sich:

   " Wie berechnet man das Volumen einer n_Kugel? "

   " Über die Eulersche GAMMA_Funktion ... "

   Wer immer ein Fan von Captain Kirk, seiner Enterprise und dem Hyperraum ist, wird verstehen, was ich im Zusammenhang mit ( 1a;2a;3a ) mit " Hyperebene " meine . Die Schnittmenge deiner drei Hyperebenen ist eine Gerade .

   In 2 D wird eine Gerade beschrieben  durch x2 = x2 ( x1 )  In 3D brauchst du schon zwei Funktionen x2 = x2 ( x1 ) so wie x3 = x3 ( x1 )  Und in vier Dimensionen kommt noch x3 = x3 ( x1 ) dazu . All diese Geradengleichungen kannst du nach x1 ableiten; das gibt dann ein gekoppeltes LGS .

   Diese Ableitungen brauchst du aber auch . Denn ID ist so einfach, dass es gar keiner Erklärung bedarf .  Wenn du die Ableitung von ( 6a )  Null setzt, kommt doch die Kettenregel zur Anwendung . Und da musst du dir vorher überlegt haben, was die Ableitung von x2;3;4 nach x1 ergibt.

   Die Gammas wollen übrigens untertauchen.

  " Qu'est_ce qu'il faut faire pour devenir Francais? "

  " Pour devenir Francais il faut travailler. Et il faut couper les cheveux ... "

   Unübersetzbar in unserem angeblich so fa schistischen autoritären Deutschland. Was man auf Deutsch gerade nicht sagen kann: Ausländer fielen unangenehm auf durch ihre langen Haare ...

   Es geht wirklich nur im Wetterauer Platt; und der Dialekt war noch nie groß deutsch nationalistisch:

  " Duut eisch emaa die Haarn schneide; umm schafft was wie mir !!! "

   Drei Gammas fristen ihr Dasein. Odile wird " Sekretärin der Frauenrechtsbewegung "  - ein Brüller sag ich dir . Weil sie versteht nicht so recht, wogegen es da eigentlich zu agitieren gilt ...

  Und da ist Mme " Cravailles_Bussage " , die ihr Leben als Gattin eines Milliarden schweren Industriemagnaten mit Nichtstun verbringt. Sie leidet an Größenwahnsinn und hält sich für eine Welt berühmte Dichterin ...

   Adrien, dem zweiten von dem Gammatrio, gelingt es, sich als ihr Bewunderer und Loverboy bei ihr einzuschleichen, was ihm ein auskömmliches Leben sichert ...

   Der schlaueste ist freilich - wie könnte es anders sein - Kommandant Emil. Nach einigen  vergeblichen Startversuchen findet er zu seiner Berufung als " Modeschöpfer "  ; er kreiert die " Gammamode "  , " la mode Gamma "

   Mehr verrate ich nicht ...