Betragsgleichung. |3x + 1| = |7x-4| . Wie kommt man auf die zweite Lösung?

Question

Ich habe eine kurze Frage:

Wie kommt man bei dieser Gleichung |3x + 1| = |7x-4| auf x₂ = 3/10 (x₁ = 5/4)?

Answer 1

Das ist eine lineare Betragsgleichung. Entweder sind beide Seiten vorzeichengleich bzw. gleich null, dann kannst du die Betragsstriche weglassen und kommst auf \(x=5/4\), oder nicht, dann kannst du die Betragsstriche auch weglassen und musst eine der beiden Seiten mit \(-1\) multiplizieren, was auf \(x=3/10\) führt.

Answer 2

|3x + 1| = |7x-4|

Du kannst zeichnen und Fallunterscheidungen machen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C3x+%2B+1%7C+%3D+%7C7x-4%7C

Skizze:

Alternativ z.B. Quadrieren

(wiederum vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C3x+%2B+1%7C+%3D+%7C7x-4%7C) 

Wurzelzeichen weglassen, da Quadrate nie kleiner als 0 sind. 

|3x + 1| = |7x-4|
genau denn wenn

(3x + 1)^2 = (7x-4)^2      | Klammern auflösen

9x^2 + 6x + 1 = 49x^2 - 56x + 16  | alles nach rechts

0 = 20x^2 - 62x + 15

Kontrolliere bis hier hin und löse dann die resultierende quadratische Gleichung wie gewohnt.

Comments

Alternative zur Klammerauflõsung: Dritte binomische Formel.

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Dritte binomische Formel: Gute Idee:

(3x + 1)^{2} = (7x-4)^{2}

gdw.

(3x + 1)^{2} - (7x-4)^{2} = 0

((3x + 1) - (7x-4))((3x + 1) + (7x-4))  = 0

Nun ist entweder der erste Faktor oder der zweite Faktor Null. (Produkt ist Null)

((3x + 1) - (7x-4))= 0

oder

((3x + 1) + (7x-4))  = 0

[spoiler]

Mit Rechnung

((3x + 1) - (7x-4))= 0

-4x + 5 = 0

5 = 4x

5/4 = x

oder
((3x + 1) + (7x-4))  = 0

10x - 3 = 0

10x = 3

x = 3/10

Answer 3

Es gibt nur zwei mögliche Fälle:

1. 3x+1=7x-4

2. 3x+1=-(7x-4)

1.

3x+1=7x-4    |+4 |-3x

5=4x   |:4

x=5/4

2.

3x+1=-(7x-4)

3x+1=-7x+4   |+7x |-1

10x=3   |:10

x=3/10