Gruppen und Gruppenhomomorphismus

Question

Ich muss zeigen: G ist kommutativ genau dann, wenn die Abbildung σ : G -> G, x -> x^2 := x*x ein Gruppenhomomorphismus ist.

Ist das so richtig? 

Aus der Homomorphismuseigenschaft ergibt sich an obrigem Beispiel erst einmal:
(x∗y)²=x²∗y²
Jetzt betrachte ich die rechte Seite und ihre Inverse:
(y⁻²∗x⁻²)∗(x²∗y²)=y⁻²∗((x⁻²∗x²)∗y²)=y⁻²∗(e∗y²)=y⁻²∗y²=e
Daraus folgt, dass x²∗y²=y²∗x², was der Kommutativtät entspricht, so dass f ein Homomorphismus ist.

Answer 1

Du musst doch 2 Richtungen zeigen:

G kommutativ ==>  σ ist ein Hom.

Das geht wohl so:  Seien x,y aus G ==>  σ (x*y) = (x*y)*(x*y)

wegen assoziativ ist das    =  x*(y*(x*y))

wegen kommutativ              =  x*((x*y)*y)

noch mal assoziativ             =  x*(x*(y*y))

noch mal assoziativ             =  (x*x)*(y*y) =  σ (x)* σ (y)

also ein Hom.

Rückrichtung:  σ ist ein Hom. Da hast du ja einen schönen Anfang:

Aus der Homomorphismuseigenschaft ergibt sich erst einmal:
(x∗y)^2=x^2∗y^2

<=>   (x*y)*(x*y) = (x*x)*(y*y)

 Dann würde ich es aber genauer auf den Punkt bringen:

Multipliziere die Gleichung von rechts mit y^{-1} und verwende

die Assoziativität gibt  (x*y)*x = (x*x)*y

Jetzt von links mit x^{-1} gibt

                                   y*x = x*y

also ist G kommutativ.