Wieso muss ein Unterraum durch den Ursprung gehen?

Question

Ich frage mich, wieso der Unterraum durch den Ursprung gehen muss.

Idee

Ist es weil ein Unterraum U eines IK-Vektorrraums in Addition und Multiplikation abgeschlossen sein muss ? Ich meine, falls u1 in U und U ⊂ V , muss eben auch die Multiplikation mit 0*u1 möglich sein und somit der Nullvektor enthalten sein.

Frage

Ist das der Grund ?

Answer 1

Hallo Limonade,

der Nullvektor \(\vec{0}\) von V ist das neutrale Element der Addition von V und dessen Unterräumen. Deshalb muss er in jedem Unterraum von V enthalten sein.

Geometrisch  entspricht der Ortsvektor von \(\vec{0}\) dem Ursprung.

Gruß Wolfgang

Comments

Super, danke für die gute Erklärung.

Aber das Einselement braucht es nicht, denn sonst würde jeder Unterraum auch durch (1, 1, 1) gehen müssen? oder?

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Ein Einselement gib es nur als neutrales Element der Multiplikation  in dem Skalarenkörper (oft ℝ), der in U und V identisch ist.

Das hat mit [1,1,1] nichts zu tun.