Mit Differenzenquotient eine bestimmte Stelle bestimmen

Question

Gegeben:

f(x): x^4 an der Stelle x0=2 mithilfe des Differenzenquotienten

Hänge seit knapp einer Stunde an dieser vermeintlich einfachen Aufgabe ran. Komme überhaupt nicht mehr weiter. Mit f(x) = x^2 war es ja noch einfach, aber diese Aufgabe...

Answer 1

f(x) = x^4

f'(x) = lim (h → 0) (f(x + h) - f(x)) / h

f'(x) = lim (h → 0) ((x + h)^4 - (x)^4) / h

Benutze den Binomischen Satz: (a + b)^4 = a^4 + 4·a^3·b + 6·a^2·b^2 + 4·a·b^3 + b^4

f'(x) = lim (h → 0) (x^4 + 4·x^3·h + 6·x^2·h^2 + 4·x·h^3 + h^4 - x^4) / h

f'(x) = lim (h → 0) (4·x^3·h + 6·x^2·h^2 + 4·x·h^3 + h^4) / h

f'(x) = lim (h → 0) 4·x^3 + 6·x^2·h + 4·x·h^2 + h^3 = 4·x^3

f'(2) = 4·2^3 = 32

Comments

f'(x) = lim (h → 0) 4·x3 + 6·x2·h + 4·x·h2 + h3 = 4·x3

Warum hier gleich 4x^3 ??

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Weil alle Terme in denen h als Faktor steht 0 werden, wenn h gegen Null geht.

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Ach. Macht Sinn. Vielen vielen Dank!!