Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum hat (Beweis)

Question

Aufgabe:

Zeige, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum hat.

Stimmt mein Beweis? – Beweis durch Induktion:

I.A.: Für eine Menge mit einem Element ist die Aussage trivial, das Maximum ist einfach das Element selbst

I.V.: Die Behauptung gelte nun für eine Menge mit M Elementen

I.S.: n ↦ n+1

M = {x₁,......, x_n+1} = {x₁,....., x_n}∪{x_n+1}

Die Menge {x₁,....., x_n} besitzt nach Induktionsvoraussetzung ein Maximum und die Menge {x_n+1} ist eine Menge bestehend aus einem Element und hier gilt wieder, dass {x_n+1} das Maximum selbst ist. Die Vereinigung zweier Mengen mit Maximum besitzt wieder ein Maximum. Dieses ist nach Definition eindeutig.

Ich finde das ein bisschen kurz, weiß aber nicht, was ich anders machen könnte.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bewertung des Induktionsbeweises zur Existenz eines Maximums in einer endlichen Menge reeller Zahlen

Dein Beweisansatz, um zu zeigen, dass jede endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum hat, nutzt die Methode der vollständigen Induktion. Der grundlegende Ansatz ist korrekt, aber um den Beweis zu vervollständigen und zu stärken, könnten einige Details stärker herausgearbeitet oder präzisiert werden. Unten findest du eine detaillierte Überprüfung und Ergänzung deines Beweises.

I.A. (Initialschritt): Du hast korrekt festgehalten, dass bei einer Menge \( \{x_1\} \), die nur ein einziges Element enthält, dieses Element bereits das Maximum der Menge darstellt. Dies ist klar und bedarf keiner weiteren Erklärung.

I.V. (Induktionsvoraussetzung): Die Annahme, dass eine beliebige Menge mit \( M \) Elementen ein Maximum hat, ist korrekt aufgestellt. Es ist wichtig, den Induktionsschritt auf dieser Voraussetzung eindeutig aufzubauen.

I.S. (Induktionsschritt): Du gehst von einer Menge mit \( n \) Elementen zu einer Menge mit \( n+1 \) Elementen über. Dein Ansatz, die Menge in zwei Teile zu zerlegen – \( \{x_1, \ldots, x_n\} \) und \( \{x_{n+1}\} \) – und dann zu argumentieren, dass beide ein Maximum haben, ist im Prinzip richtig. Jedoch ist dein Beweis hier ein wenig zu knapp und könnte etwas mehr Erklärung vertragen, vor allem bezüglich der Bestimmung des Maximums in der Vereinigung der beiden Mengen.

Es sollte explizit gezeigt werden, wie das Maximum der Vereinigungsmenge gefunden wird:
1. Nehmen wir an, dass \( x_{max} \) das Maximum der Menge \( \{x_1, \ldots, x_n\} \) ist.
2. Dann vergleichen wir \( x_{max} \) mit \( x_{n+1} \).
3. Wenn \( x_{n+1} > x_{max} \), dann ist \( x_{n+1} \) das neue Maximum der vereinigten Menge \( \{x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}\} \).
4. Andernfalls bleibt \( x_{max} \) das Maximum.

Dieses Verfahren stellt sicher, dass in jedem Schritt der Induktion klar ist, wie das Maximum gefunden wird, und es bestätigt, dass es eindeutig und wohldefiniert ist, egal wie viele Elemente die Menge enthält.

Zusammengefasst: Dein Beweisansatz ist korrekt, aber die Ausarbeitung des Induktionsschritts könnte eine detailliertere Erläuterung darüber verwenden, wie genau das Maximum in der erweiterten Menge \( \{x_1, \ldots, x_{n+1}\} \) bestimmt wird. Damit würde der Beweis nicht nur an Klarheit gewinnen, sondern auch an Überzeugungskraft.