Aufgabe:
\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{z^n}{n!} \) \( z \in \mathbb{C} \)
Ansatz:
\( (I) := \frac{z^n}{n!} = \frac{z^M}{M!} \frac{z^{n-M}}{(M+1)*(M+2)*\ldots*M} \) für ein \( M \geq \left|M\right| \)
\( (I) \leq \frac{z^M}{M!} \frac{z^{n-M}}{(M+1)^{n-M}} = \underbrace{\frac{(M+1)^M}{M!}}_{\text{const}} \frac{z}{(M+1)}^n \)
Ich weiß ja, da das \( \frac{\left|z\right|}{M+1} < 1 \) da \( M \) ja so gewählt wurde. Ich weiß dies aber nur für den Betrag, kann ich da trotzdem mittels geometrischer Folge argumentieren? Bzw. da auf \( \mathbb{C} \) ja keine Ordnung definiert ist, kann ich diese Folge überhaupt so abschätzen?
Sie konvergiert für alle \( \forall z \in \mathbb{C} \) gegen 0
