Trigonometrische Identität mit Tangens. Warum ist das identisch?

Question

Aufgabe:

Gibt es eine sinnvolle und einfache Begründung, warum das identisch ist?

sin(x)     +     sin³(x) / (cos²(x) + cos(x)) = tan(x)

Problem/Ansatz:

Kann man das erklären ?

Answer 1

sin(x) + sin³(x) / (cos²(x) + cos(x)) =                          (sin³(x)=sin²(x)·sin(x))

sin(x)+(sin(x)(1-cos²(x)) / (cos(x)·(cos(x) + 1)) =  (Erklärung: sin²(x)=1-cos²(x))

sin(x)+(sin(x)(1-cos(x))/cos(x)                               (3.bin.Formel)

(sin(x)cos(x))/cos(x)+(sin(x)(1-cos(x))/cos(x)        (Hauptnenner und ausmultiplizieren)

=sin(x)/cos(x) = tan(x)

Comments

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Answer 2

Das erste ist der Zähler ), also so:

(sin(x) + sin³(x)) / (cos²(x) + cos(x)) =

( sin(x) / cos(x)   ) * ( 1 +sin^2(x) ) /  ( 1 + cos^2(x) ) =

tan(x) *   ( 1 +sin^2(x) ) /  ( 1 + cos^2(x) )

Wenn deine Gleichung richtig wäre, dann müsste

( 1 +sin^2(x) ) /  ( 1 + cos^2(x) )   = 1 gelten, also

  1 +sin^2(x)    =  1 + cos^2(x)

       sin^2(x)    =   cos^2(x)

und das stimmt sicher nicht für alle x.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort !

Leider hast du meine Gleichung verfremdet.

Dass vor dem sin(x) keine Klammer ( ... ist, ist so gewollt.

Schau mal :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(x)+%2B+sin%C2%B3(x)+%2F+(cos%C2%B2(x)+%2B+cos(x))+%3D+tan(x)

Meine Gleichung stimmt also, die Frage ist aber im Prinzip "Warum stimmt sie ?"

Meine Schreibweise ist absolut korrekt, aber vielleicht hätte ich besser folgende Schreibweise verwenden sollen :

$$sin(x) + \frac{sin³(x)}{cos²(x) + cos(x)} =  tan(x)$$