Die Punkte A, B und C legen eine Ebene E fest. Bestimmen sie eine Koordinatengleichung und eine Normalangleichung von E.

Question

Liegt der Punkt D(-7/1/3) in der Ebene E?

A(1/1/1)

B(1/0/1)

C(0/1/1)

Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

Erst mal die Ebenengleichung in Parameterform:

         1                          1                  1                         0           1
x =    0      +  r  *   (        1         -      0    )    +   s *   (   1     -     0)
         1                          1                  1                         1           1

         1                          0                          -1       
x =    0      +  r  *           1          +   s *        1    
         1                          0                           0

Ein Normalenvektor ist z.B

0
0
1

Also ist die Normalengleichung

                  1            0
(  x     -      0  )   *     0       = 0 
                 1             1

     z - 1   = 0    bzw.   z=1

Passt, alle Punkte hatten ja:  z=1.

Answer 2

AB = B - A = [1, 0, 1] - [1, 1, 1] = [0, -1, 0]
AC = C - A = [0, 1, 1] - [1, 1, 1] = [-1, 0, 0]

k·N = AB ⨯ AC = [0, -1, 0] ⨯ [-1, 0, 0] = [0, 0, -1] = -[0, 0, 1]

E als Normalengleichung
E: (X - A)·N = (X - [1, 1, 1])·[0, 0, 1] = 0

E als Koordinatengleichung
E: z = 1

Du kannst in E den Punkt D einsetzen.

3 = 1 → falsch. Damit liegt D nicht in der Ebene.

Comments

[0, 0, -1] = -[0, 0, 1]  ich verstehe diesen schritt nicht

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Bei dem Normalenvektor kommt es nur auf die Richtung. Nicht aber auf die Länge und Orientierung an. Damit kann man Faktoren aus dem Normalenvektor rausziehen.

Wenn also [-5, -10, -15] ein Normalenvektor ist, dann ist auch [1, 2, 3] ein Normalenvektor. Ich ziehe den Faktor -5 einfach aus dem Vektor raus.

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aber weshalb zieht man das minus raus?

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Nur damit sowohl die Normalengleichung als auch die Koorndiatengleichung schöner aussieht.

z = 1 sieht doch besser aus als -z = -1 oder findest du nicht?

Das macht man also hauptsächlich aus kosmetischen Gründen.

Das ist so wie bei einem Bruch den man auch immer gekürzt angibt. Kein Mathematiker würde den Normalenvektor als [-5, -10, -15] angeben wenn es auch mit [1, 2, 3] geht.