Vektorraum prüfen - Funktionen

Question

eigentlich ist die Aufgabe gar nicht so schwer, aber ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.

V ist die Menge aller stetigen Funktionen f : [0, 1] → R.

Jetzt soll ich prüfen, dass die Menge V mit der Verknüpfung + und mit der Multiplikationen mit reellen Zahlen einen R-Vektorraum bildet.

Hierbei muss ich also prüfen:

1) Nichtleer (Kann ich z.B. mit f(x) = 1 zeigen, oder?

2&3) Abgeschlossen unter Addition und der Multiplikation mit einer reellen Zahl. Das scheint mir zu selbstverständlich. Eine Funktion, die von [0, 1] auf R abbildet, wird das auch tun, wenn man sie mit einer reellen Zahl multipliziert oder einer anderen Funktion dieses VR addiert. Wie soll ich das also "beweisen"??

Answer 1

ja, diese Aufgabe ist nicht schwieriger, als sie aussieht.

Man kann sie sogar auf beliebige Definitionsbereiche verallgemeinern und dann \( D = [0, 1] \) als einen Spezialfall auffassen.

Mister

Answer 2

du musst bloß die Definitionen nachprüfen und alles sauber aufschreiben. Das ist nicht sehr schwer.