https://youtu.be/NgvsxDvNk4E
1. Einführung
In der Schule lernt man ziemlich früh, Zahlen zu runden. Später erfährt man dann mehr über periodische Brüche und gelangt früher oder später sicherlich zu der Erkenntnis, dass \(0.\overline{9}\) gerundet \(1\) ergibt. Es ist jedoch so, dass \(0.\overline{9}\) nicht nur gerundet, sondern exakt \(1\) ist. Warum das so ist, werden wir nun auf zwei Arten zeigen.
2. Beweis durch Bruchrechnung
Der Bruch \(\frac{1}{3}\) kann durch die periodische Dezimalzahl \(0.3333...\), also \(0.\overline{3}\) dargestellt werden. Es gilt also: $$0.\overline{3}=\frac{1}{3}$$ Wenn du nun beide Seiten mit \(3\) multiplizierst, erhältst du: $$3\cdot 0.\overline{3}=3\cdot \frac{1}{3}$$ und das ergibt $$0.\overline{9}=1$$ Dieser Beweis überzeugt jedoch nur bedingt, da wir davon ausgehen müssen, dass \(0.\overline{3}\) tatsächlich exakt \(\frac{1}{3}\) ist. Wir müssten zuerst beweisen, dass \(0.\overline{3}=\frac{1}{3}\) und könnten das dann erst für unsere Argumentation verwenden.
3. Beweis durch die geometrische Reihe
Viel besser ist hingegen der Beweis über die geometrische Reihe. Die periodische Dezimalzahl \(0.\overline{9}\) lässt sich durch die Summe $$9\cdot \frac{1}{10}+9\cdot \frac{1}{100}+9\cdot \frac{1}{1000}+9\cdot \frac{1}{10000}+...$$ angeben, denn \(9\cdot \frac{1}{10}=0.9\), \(9\cdot \frac{1}{100}=0.09\), \(9\cdot \frac{1}{1000}=0.009\) usw. und wenn du das bis ins Unendliche fortführen würdest, würdest du nach der Addition all dieser Summanden die periodische Dezimalzahl \(0.\overline{9}\) herausbekommen. So weit, so gut. Doch wie hilft dir dieses Wissen jetzt bei deinem Beweis? Die Summe $$9\cdot \frac{1}{10}+9\cdot \frac{1}{100}+9\cdot \frac{1}{1000}+9\cdot \frac{1}{10000}+...$$ kannst du auch mithilfe des Summenzeichens ausdrücken. Wähle dazu als Laufvariable \(k\) mit der Bildungsfunktion $$f(k)=9\cdot\left( \frac{1}{10}\right)^k$$ Lasse die Summe von \(k=1\) bis Unendlich laufen. Somit erhältst du die Summe über \(9\cdot\left( \frac{1}{10}\right)^k\) für \(k\) von \(k=1\) bis \(k=\infty\): $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{9\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^k}$$ Den Faktor \(9\) kannst du vor das Summenzeichen ziehen und erhältst: $$9\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}$$ Bei dem zweiten Faktor liegt offensichtlich eine geometrische Reihe mit dem Quotienten \(q=\frac{1}{10}\) vor. Da \(|q|\lt 1\) ist, konvergiert die Reihe. Doch gegen welchen Grenzwert konvergiert sie? Um das herauszufinden verwendest du diese Formel: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^k}=\frac{1}{1-q}$$ Beachte aber, dass die Formel bei \(k=0\) und unsere Summe bei \(k=1\) beginnt. Deshalb musst du die Summe bei \(k=0\) starten, um die Formel anwenden zu können. Wie funktioniert das? Nun, du musst den Summanden, der sich für \(k=0\) ergibt, von der Summe abziehen, d. h. du setzt \(k=0\) in die Bildungsfunktion ein und erhältst: \(\left(\frac{1}{10}\right)^0=1\) Diesen Wert ziehst du nun von der Summe ab, d. h. du erhältst: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}=\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}\right)-1$$ Für \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}\) kannst du nun mit der Formel und \(q=\frac{1}{10}\) den Grenzwert berechnen und erhältst: $$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^{k}}=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{\frac{9}{10}}=\frac{10}{9}$$ Von diesem Ergebnis substrahierst du nun die \(1\) und erhältst: $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}$$ Wie du sicherlich noch weißt, hast du zu Beginn die \(9\) als Faktor herausgezogen. Diese multiplizierst du nun mit dem Ergebnis und erhältst: $$0.\overline{9}=9\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{10}\right)^k}=9\cdot \frac{1}{9}=1$$ Damit ist nun bewiesen, dass \(0.\overline{9}\) nicht nur gerundet, sondern exakt \(1\) ist.
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