Lineare Hülle von Vereinigten Mengen: span(M) u span(N) = span(M u N) beweisen?

Question

hab schon fast überall gesucht, aber finde nichts was mir im Verständnis weiterhilft, es geht Konkret um die Aufgabe:

"Zeigen Sie, $$span(M)\bigcup { span(N) } )=span(M\bigcup { N } )$$"
Es ist noch gegeben, dass ich die beiden Untervektorräume Span(M) und Span (N) Vereinigen darf, aber wie muss ich mir $$span(M\bigcup { N } )$$ vorstellen, ist das einfach nur eine neue Zusammengesetzte Menge und ich kann das in der Form gar nicht mit ner Summenformel oder so ausschreiben? Und was entsteht aus $$span(M\bigcup { N } ))$$ der Untervektorraum einfach von der "neuen" Menge oder hat besitzt das noch Eigenschaften zu M und N?

hoffe das ist halbwegs verständlich, so wie ich das meine ^^

grüße

Lineare Hülle von Vereinigten Mengen: span(M) u span(N) = span(M u N) beweisen?

Comments

Ich sehe keinen Grund span einmal klein und einmal gross (also Span) zu schreiben. Habe nun das einzige Span zu span gemacht. Bitte Bilder von Formeln, die automatisch umgewandelt wurden, in Zukunft stehen lassen oder generierten Code sorgfältiger kontrollieren. Alles Gute im 2021 und bleibt gesund !

Answer 1

Gleichheit kann hier mE nicht stimmen.

Mein Gegenbeispiel:

M = {(1,0,0)}              span(M) ist die x-Achse

N = {(0,1,0), (0,0,1)}        span(N) ist die yz-Ebene

M u N = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}       
span(M u N) = R^3 also der ganze 3-dim. Raum

span(M) u span(N) ist dagegen nur die Seitenrissebene plus die x-Achse.

qed: Gleichung ist falsch.

Hast du da eventuell noch weitere Angaben in deiner Fragestellung, die mein Gegenbeispiel ausschliessen?

Comments

Ja Span(M) ist die unechte Teilmenge von Span(N) bzw. Span (N) ist die unechte Teilmenge von Span(M), dann gilt die Gleichung, hatte die Aufgabe nur angegeben um den Kontext son bissl zu vermitteln, sorry demnächst gebe ich alles an.

Es geht mir mehr darum was der Span (N u M) ist, also was ich mir darunter vorstellen kann, oder ob das nur eine neue Mengen aus den Mengen N und M ist die zwar die Vektoren davon hat, aber man sonst keine Sachen daraus machen kann

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unechte Teilmengen wären ja höchstens die leere Menge oder die Menge selbst. Die beiden Fälle kannst du separat beschreiben und führen dann ziemlich schnell auf die Gleichheit.

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Ich muss jetzt genau das gleiche beweisen Menoka hast du vielleicht die lösung dazu jetzt?

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Wie das Beispiel von Lu einfach mal einwandfrei funktioniert und er es nicht checkt xD