In \( \mathcal{B}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) liegen halb soviele Vektoren wie in \( \mathcal{C}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}, i \cdot v_{1}, \ldots, i \cdot v_{n}\right\} \)
Die Skalare kommen jetzt aber auch nur noch aus \( \mathbb{R} \), daher brauchen wir die auch alle.
Sei jetzt \( v \in V \).
Die Skalare (i) sind imaginäre Einheiten, die sind aus C.
\( v \in V \) besitzt eine Darstellung \( v=\lambda_{1} \cdot v_{1}+\cdots+\lambda_{n} \cdot v_{n} \) wobei \( \lambda_{j} \in \mathbb{C} \). Dann gibt es also \( a_{j}, b_{j} \in \mathbb{R} \), sodass \( \lambda_{j}=a_{j}+i \cdot b_{j} \).
Zur Basis \( \mathcal{C} \): Durch die Zerlegung von Real- und Imaginärteil der Koeffizienten lambda_{j} aus C entsteht ja dann gerade die Darstellung des Vektors v über die Vektoren v_1,...,v_n, iv_1,...,iv_n
Die Abbildungsmatrix für die Basis \( B \) ist ja \( A=M_{B}^{B}(f) \) Wenn \( A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \) ist, dann gilt \( a_{i j} \in \mathbb{C} \), also wieder \( a_{i j}=\lambda_{i j}+i \cdot \mu_{i j} \)
Du musst dir jetzt nur ansehen, wohin die Basisvektoren abgebildet werden.
Wir wissen: \( f\left(v_{j}\right)=\sum \limits_{l=1}^{n} a_{l j} \cdot v_{j} \) wegen \( A \)
Wenn \( A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \) ist, dann gilt \( a_{i j} \in \mathbb{C} \), also wieder \( a_{i j}=\lambda_{i j}+i \cdot \mu_{i j} \)
Also weiter \( f\left(v_{j}\right)=\sum \limits_{l=1}^{n}\left(\lambda_{l j}+i \cdot \mu_{l j}\right) \cdot v_{j}=\sum \limits_{l=1}^{n} \lambda_{l j} \cdot v_{j}+i \cdot \sum \limits_{l=1}^{n} \mu_{l j} \cdot v_{j}=\sum \limits_{l=1}^{n} \operatorname{Re}\left(a_{l j}\right) \cdot v_{j}+i \cdot \sum \limits_{l=1}^{n} \operatorname{Im}\left(a_{l j}\right) \cdot v_{j} \)
Das ist nämlich die Matrix \( B \) wo der hintere \( 2 n \times n \) -Block abgeschnitten ist; den erhältst du, indem du dir die Bilder von \( i \cdot v_{j} \) ansiehst.
Die Matrix B besteht dann nur aus reellen Einträgen, da ich ja nur Real- und Imaginäranteile der komplexen Einträge von a_ij betrachte.
Du hast \( B=\left(\begin{array}{cc}\operatorname{Re}(A) & -\operatorname{Im}(A) \\ \operatorname{Im}(A) & \operatorname{Re}(A)\end{array}\right) \), du könntest etwa eine geeignete Darstellung für \( \operatorname{Re} \) und Im wählen und
\( B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(A+\bar{A}) & -\frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) \\ \frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) & \frac{1}{2}(A+\bar{A})\end{array}\right) \) erhalten.
Du kannst einfach in der Form \( B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(A+\bar{A}) & -\frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) \\ \frac{1}{2 i}(A-\bar{A}) & \frac{1}{2}(A+\bar{A})\end{array}\right) \) fortfahren.
Erstmal erkennst du, das überall ein \( \frac{1}{2} \) auftaucht, dann kannst du \( \frac{1}{i}=-i \) benutzen.
Welche Eigenschaften hat nun die Determinante?
Multiplikation mit 2 und ausnutzen der Identität \( -\mathrm{i}=1 / \mathrm{i} \) liefert die Form
\( \left(\begin{array}{cc}A+A^{*} & i\left(A-A^{*}\right) \\ -i\left(A-A^{*}\right) & A+A^{*}\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{cc}A+A^{*} & i\left(A-A^{*}\right) \\ -i\left(A-A^{*}\right) & A+A^{*}\end{array}\right) \) hat jetzt natürlich eine (um eine Konstante) andere Determinante als \( B \)
Du kannst jetzt aber einfach das \( i \) -fache der ersten \( n \) -Zeilen auf die zweiten \( n \) -Zeilen addieren.
Die Konstante ist 2.
Wenn du das i-fache der ersten n Zeilen auf die zweiten \( \mathrm{n} \) Zeilen addierst, dann ergibt sich:
\( \left(\begin{array}{cc}A+A^{*} & i\left(A-A^{*}\right) \\ 2 i A^{*} & 2 A^{*}\end{array}\right) \)
Multilplikation mit - i in den ersten n Spalten und anschließende Subtraktion der letzten n Spalten von den ersten n Spalten liefert dann die Form:
\( \left(\begin{array}{cc}-2 i A & i\left(A-A^{*}\right) \\ 0 & 2 A^{*}\end{array}\right) \)
