Zuverlässigkeitsfunktion für variable Ausfallraten

Question

die mir vorliegende Aufgabenstellung lautet die Zuverlässigkeitsfunktion R(t) für die Ausfallrate λ(t) (λ₀ größer 0) zu bestimmen.

für

a) λ(t) = λ₀ * t

b) λ(t) = αμt^α-1+βγt^β-1

Kann ich hier den Ansatz R(t) = e^{-\( \int\limits_{0}^{t} \) λ(x) dx} wählen und setze ich λ(x) einfach gleich λ(t) ?

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du mit den Bezeichungen aufpassen. Die Ausfallrate \(\lambda(t)\) wird üblicherweise in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) angegeben. Die Zuverlässigkeit \(R(t)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Bauteil nach der Zeit \(t\) noch funktioniert. Fummelig wird es nun, weil gilt:$$R(t)\propto\exp\left(-\int\limits_0^t\lambda(\tau)\,d\tau\right)$$Darin habe ich die Zeit-Variable der Ausfallrate in "tau" umbenannt, \(\lambda=\lambda(\tau)\). Dieses \(\tau\) ist im Prinzip eine Hilfsvariable und fällt nach der Integration weg. Wichtig ist, dass die Zeit \(t\) als obere Grenze des Integrals auftaucht und du Verwechslungen mit der Integrationsvariablen \(\tau\) vermeidest. Du kannst natürlich auch den Namen \(x\) statt \(\tau\) vergeben

Comments

Ah herrlich, genau das waren auch meine Bedenken.

Vielen, vielen Dank!

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Um es aber nochmal sicherzustellen:

Für das Beispiel a) würde die Gleichung dann lauten wenn: $$\lambda(\tau) = \lambda(t)$$

$$ \begin{aligned} R(t) &= e^{(-\int_{0}^{t}\lambda_{0} \tau \space d\tau)} \\ \Longleftrightarrow R(t) &= e^{-\frac{\lambda_{0}t^2}{2}} \end{aligned} $$

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Ja, so ist es. Allerdings musst du die Normierung beachten. Meistens wird die Zuverlässigkeit als Wahrscheinlichkeit definiert, dann brauchst du einen Vorfaktor \(R_0\), sodass \(R(t)=R_0e^{-\lambda_0 t^2/2}\) wird und \(R_0\) aus der Normierungsbedingung \(\int\limits_0^\infty R(t)\,dt=1\) bestimmt wird. Oder du schreibst einfach \(R_0\) als Proportionaliätskonstante mit auf ;)