Diskriminante. sx^2 + 3x + 5 = 0 hat genau 0,1,2 Lösungen. Rechnung ok?

Question

Kann bitte jemand kurz einen Blick über die Aufgabe werfen?

Wähle den Wert von s so , dass man zwei, eine oder keine Lösung erhält. Gib jeweils den zu wählenden Wert an.

sx² + 3x + 5 = 0

x²  + 3 /s x + 5 / s       p= 3/s   q= 5 /s

D = 3 / 4 s² - 5 / s

D = 9 / 4 s² - 5 /s

Jetzt weiß ich doch( hoffentlich), dass es weder nur eine noch keine Lösung geben kann? Sind es tatsächlich 2 Lösungen, die das Ergebnis ausmachen?

Im Lösungsheft steht: 2 Lösungen für s kleiner als 9 / 20. Wie berechne ich diesen Wert?

Freue mich auf weitere Hilfe!

Liebe Grüße,

Sophie

Answer 1

Hi Sophie again,

 

ich schreibe es mal etwas anders:

f(x) = sx² + 3x + 5 = 0 | :s

x² + 3x/s + 5/s = 0

p = 3/s

q = 5/s

x_1,2 = -3/(2s) ± √[9/(4s²) - 5/s]

Wir betrachten die Diskriminante:

 

Diskriminante = 0:

9/(4s²) - 5/s = 0 | *4s²

9 - 20s = 0

9 = 20s

s = 9/20

Für s = 9/20 haben wir also eine Lösung.

 

Diskriminante < 0:

9 - 20s < 0

9 < 20s

s > 9/20

Für s > 9/20 haben wir keine Lösung - man kann aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen.

 

Diskriminante > 0:

9 - 20s > 0

9 > 20s

s < 9/20

Für s < 9/20 haben wir also zwei Lösungen.

 

Beispiele:

s = 9/20 | f(x) = 9/20 * x² + 3x + 5 = 0 | x² + 60/9 * x + 100/9 = 0 | x_1,2 = -30/9 ± √(900/81 - 100/9) = -30/9 ± 0

Eine Lösung

s>9/20

s = 10/20 | f(x) = 10/20 * x² + 3x + 5 = 0 | x² + 60/10 * x + 100/10 | x_1,2 = -30/10 ± √(900/100 - 1000/100)

Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert, deshalb keine Lösung.

s<9/20

s = 8/20 | f(x) = 8/20 * x² + 3x + 5 = 0 | x² + 60/8 * x + 100/8 | x_1,2 = -30/8 ± √(900/64 - 800/64) = -30/8 ± 10/8

Also zwei Lösungen.

 

Liebe Grüße

Andreas

Answer 2

Diskriminante der abc-Formel: D = b^2 - 4ac

sx² + 3x + 5 = 0

D = 3^2 - 4*s*5 > 0
s < 9/20

Das Gleiche bekommst du heraus, wenn du deine Diskriminate

9/(4·s^2) - 5/s > 0

Lösen würdest. Deine Version ist allerdings nicht zu empfehlen, da hier ein s^2 im Nenner ist.