Bestimmen sie das Supremum bzw Infimum der Mengen: a) (x²+x-2 | x ∈ ℚ und | x | ≤ 2 ) b) (x ∈ ℝ | x² + 3x + 2 ≤ -1 -x )

Question

Bestimmen sie das Supremum bzw. Infimun der Mengen:

a) (x²+x-2 / x ∈ ℚ und / x / ≤ 2 )

b) (x ∈ ℝ / x² + 3x + 2 ≤ -1 -x )

Answer 1

x²+x-2 = (x + 1/2)² -1/4 -2 = (x+1/2)² - 2.25

Das Infimum -2.25 wird an der Stelle x = -0.5 angenommen, da dort der quadratische Summand den kleinsten Wert annimmt.

Das sup liegt aus Symmetriegründen am Rand von |x| ≤ 2 möglichst weit weg von -0.5

Also bei x = 2

sup(i) = 2.5² - 2.25 = 4

Resultat ohne Gewähr. Kontrolliere die Rechnung bitte.

Comments

Das sieht ziemlich logisch aus. Aber ob das als Antwort reicht?

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Das musst du selbst wissen. Du kannst ja das Video zur Scheitelpunktform von Parabeln noch als Referenz anfügen.

Answer 2

zu ii)

x²+3x+2≤-1-x

⇔x²+4x+3≤0

⇔x²+4x+3=0

⇔...

⇔X= (±√3:4): -2 ⇒ X1= -0,433 UND X2=0.433 ⇒ inf = -0,433 und sup = 0,433

 

ist das so korrekt? Oder hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Comments

Kannst du nicht einfach die PQ Formel anwenden?

⇔x²+4x+3=0 

P= 4
Q= 3

Bei mir würde dann -1 und -3 rauskommen, 

lg

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OK danke ich hab das auch jetzt raus. Wie hast du denn die i) gemacht? Weiss gar nicht wie ich da anfangen soll

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Kannst du mal die Zwischenschritte posten 

Nach ⇔x²+4x+3=0 

und vor  ⇔X= (±√3:4): -2 

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Gemäss:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x²+%2B+3x+%2B+2+≤+-1+-x+

ist das inf (ii) = -3 und das sup(ii) = -1. Da brauchst du keine Zwischenschritte mehr.

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Also: p-q Formel: => (-4:2)+-√((4:2)^2-3) => -2 +- √1 => x1= -1 und x2=-3 So,das zu der ii). Kannst du mir bei Der i) helfen?

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Da hänge ich selbst noch dran. :/
Siegener Student? :D

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Jawohl :) bei mockenhaupt

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Das ist nicht richtig!
Die Def. von Supremum und Infimum ist welcher jeweils der niedrigste Wert oder der höchste Wert ist den diese Menge annehmen kann.

In diesem Fall wird die Menge f(x)=x^2 + 3x + 2 durch die Gerade g(x)=-x-1 beschränkt und hat dadurch einen Definitionsbereich [S1;S2] also in dem Fall [-3;-1].

Jetzt sieht man ja anhand des Graphen, dass der Tiefpunkt durch eine Zahl im Definitionsbereich angenommen wird. Also hat man schon mal das Infimum.

Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, kann man anhand des Infimums das Supremum relativ leicht ermitteln.

Ach und nebenbei habt ihr die Lösung Aufgabe 3 mit der Intervallschachtelung?

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@Fuchs:  Vermutlich ist {x ∈ ℝ / x² + 3x + 2 ≤ -1 -x } gemeint.

Gesucht ist das sup und das inf der Menge der x-en , die die nachfolgende Bedingung erfüllen.

So stimmt -3 und - 1 schon.

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In diesem Fall revidiere ich mein Aussage und bedanke mich für die Aufklärung. :D