Motivation Basiswechsel - Linalg 1

Question

Situation:
Ich habe gehört, dass ich mittels Bassiwechsel von der einen Darstellungsmatrix in eine andere Darstellungsmatrix komme, 
die beiden Darstellungsmatrizen beschreiben wohl die gleiche Abbildung nur sehen sie anders aus,
da sie ja Darstellungsmatrizen zu anderen Basen sind. 

Nun fiel auch das Wort der Diagonalmatrix die ich eben durch Basiswechsel erhalte und die wäre dann viel praktischer für weitere Berechnungen.

Frage:
Liefert mir der Basiswechsel immer eine Diagonalmatrix oder gibt es Wege mit denen ich gezielt per Basiswechsel eine Diagonalmatrix finden  kann. 
(Ich könnte bei genügend verschiedenen Basen ja tausende verschiedene neue Darstellungsmatrizen herausbekommen ich weiss aber nie im Vornherein ob die neue Darstellungsmatrix eine Diagonalmatrix ist oder nicht).

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Eigenwerte EW und die Eigenvektoren EV der \(n\times n\)-Matrix \(M\) bestimmen, die du diagonalisieren willst. Die EW bilden die Hauptdiagonale und die zugehörigen EV bilden die Basis, in der die Matrix \(M\) diagonal ist. Daher sind nur Matrizen diagonalisierbar, für die sich \(n\) linear unabhängige EV finden lassen. Die Übergangsmatrix \(S\) erhältst du, indem du die ermittelten EV als Spalten in \(S\) einträgst.

Comments

danke ! 

Also ich bin noch nicht bei den Eigenvektoren, Eigenwerten. 
Das letzte, was ich gelernt habe, sind Darstellungsmatrizen. 

Im darauffolgenden Kapitel steht Basiswechsel. 

Nun frage ich mich (ich weiss nur ungefähr was der Basiswechsel ist und ich kenne die Formel) wofür Basiswechsel eigentlich genau ist, was ich mit dem Basiswechsel in welchem Bezug "lösen" kann.

Also, ich weiss nicht konkret, wofür ich den brauche. 


(1) Heisst deine Antwort, dass ich den nutzen von einem Basiswechsel dann sehe sobald ich auf das Thema Diagonalisieren stosse?

(2)

Die Übergangsmatrix S erhältst du, indem du die ermittelten EV als Spalten in S einträgst. 

Was ist die Übergansmatrix ?

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Also, ich weiss nicht konkret, wofür ich den brauche. 

In der Abbildung siehst du einen Punkt D, der im "üblichen" Koordinatensystem mit \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) als Basisvektoren  die Koordinaten (4;3) hat. In einem anderen Koordinatensystem, in dem die beiden rot eingezeichneten Vektoren u und v die Basis bilden, hätte der gleiche Punkt  die Koordinaten (1/4 ; 2/3).

Der Wechsel der verwendeten Basis führt in der Regel zu neuen Koordinaten des gleichen Punktes.

Was ist die Übergangsmatrix ?

Die braucht man, um aus den alten Koordinaten die sich aus dem Basiswechsel ergebenden neuen Koordinaten zu berechnen.