Maximaler senkrechter Abstand d zwischen einer quadratischen und linearen Funktion berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Funktion
f(x) = -0,01x2+ 0,8x -7 und die lineare Funktion s(x) = 0,1x – 1. Wir sollen den maximalen Abstand der beiden Funktionen berechnen. Unsere Lehrerin gab uns nur noch den Tipp, dass wir die beiden Funktionen subtrahieren sollen. Ich kann aber nur die Gleichung so weit wie möglich zusammenfassen. Ich persönlich komme nicht auf ein exaktes Ergebnis. Könnt Ihr mir vielleicht helfen? Danke. 

Problem/Ansatz:

d=-0,01x²+0,8x-7-(0,1x-1)

d= -0,01x²+0,7x-6

Comments

In welchem Bereich? Zwischen den beiden Schnittpunkten?

Ansonsten für x → ± ∞.

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Ja, zwischen den beiden Schnittpunkten.

Answer 1

Jetzt musst du mit deiner Funktion d eine Kurvendisskusion machen.

Ansatz d'(x)=0 und lösen und mit d''(x) prüfen, ob die Lösung ein Kandidat für ein Maximum ist.

Comments

Danke für deine Antwort aber das hilft mir nicht viel weiter. Ich hatte noch nie Kurvendiskussion.

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Ok. Dann kannst ja mal den Scheitelpunkt von d berechnen. Die Stelle sagt dir, wo ein maximaler Abstand vorliegt und der y-Wert, wie groß er ist.

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Um den Scheitelpunkt berechnen zu können, muss ich erst die -0,01 vor dem x² weg machen. Kann ich dann alles durch die -0,01 rechnen? Ich bekomme dann die Gleichung d=x²  - 70x + 600

 Der x-Wert stimmt aber der y-Wert nicht.

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Schreibe mal bitte deinen kompletten Rechenweg dazu auf.

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d= -0,01x² + 0,7x - 6    I : (-0,01)

d= x² -70x + 600

-(-70) / 2 = 35

-(-70)² / 4 + 600 = -625

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d= -0,01x2 + 0,7x - 6    I : (-0,01)

d= x2 -70x + 600

-(-70) / 2 = 35

-(-70)2 / 4 + 600 = -625

Ab der zweiten Zeile wird es falsch. Es muss wenn dann heißen:

$$ \frac{d}{-0,01}=x^2-70x+600$$

Mach es so:

$$ -0,01x^2 + 0,7x - 6=-0,01[x^2-70x+600]\\=-0,01[x^2-2\cdot 35x+1225-625]=-0,01[(x-35)^2-625]\\=-0,01(x-35)^2+6,25 $$

Also lautet der Scheitelpunkt S(35/6,25)

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Das ist mir zu kompliziert und ich habe gar keinen Überblick mehr. Ich verstehe nicht, wenn ich (-0,01) dividiere, warum multipliziere ich dann auf der rechten Seite.

Kann man den Scheitelpunkt auch mit dem TR berechnen? Ich habe ein Ti-89 Titanium.

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Ich merke, dass du nicht geübt bist, so zu rechnen. Das ist halt nur etwas Umformen, um auf die Scheitelpunktform zu kommen. Da braucht man kein Taschenrechner.

Ich verstehe nicht, wenn ich (-0,01) dividiere, warum multipliziere ich dann auf der rechten Seite.

Ich klammere nur die -0,01 aus, d.h ich dividiere durch -0,01.

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Ich würde in einer Klausur nicht schriftlich auf das Ergebnis kommen. Gibt es keine Möglichkeit das mit dem TR zu lösen!?

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Ich würde in einer Klausur nicht schriftlich auf das Ergebnis kommen.

Dafür macht man ja solche Aufgaben, um eben so etwas zu üben.

Gibt es keine Möglichkeit das mit dem TR zu lösen!?

Bestimmt, aber ich kenne nicht alle Taschenrechner. Und du wirst wenig davon haben, weil du eben nicht weißt, wie dein Rechner drauf gekommen ist.

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Und eine andere einfachere Möglichkeit gibt es nicht, das schriftlich zu rechnen?

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Du kannst auch erstmal die Nullstellen berechnen. Ich nenne sie mal x₁ und x₂. Dann willst du ja die Mitte wissen. Also addierst du beide Nullstellen und dividierstdurch 2. In einer Formel ausgedrückt:

$$ x_m=\frac{x_1+x_2}{2} $$

Die Stelle x_m setzt du dann in die quadratische Funktion ein und bekommst so die y-Koordinate von deinem Scheitelpunkt.

Und eine andere einfachere Möglichkeit gibt es nicht, das schriftlich zu rechnen?

Was einfach ist, hängt von dir ab, was du bevorzugst. Ich mache es lieber über die obige Umformung.

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Wie nennt man dieses schriftliche rechnen denn?

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Wie nennt man dieses schriftliche rechnen denn?

Ich verstehe nicht, was du meinst.

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Ist das unter "Gleichungssysteme lösen" zu finden. Ich habe noch nie eine Gleichung so gelöst.

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Nein. Das ist einfaches Lösen von einer Gleichung. Ein Gleichungssystem aber umfasst mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten!

Answer 2

d(x)= -0,01x²+0,7x-6. Das ist eine quadratische Parabel mit dem Scheitel (35|6,25). An der Stelle x=35 ist der Abstand am größten.

Comments

Also hätte ich bloß den Scheitelpunkt berechnen sollen?

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Genau so ist es.

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Kann man das mit einem TR lösen?

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Ja. Der Casio fx 991 DE PLUS berechnet dir Nullstellen und Scheitelpunkt einer Parabel.

Answer 3

Aloha :)

Dein Ansatz mit der Differenz \(d(x)=-0,01x^2+0,7x-6\) ist schon mal richtig. Du musst jetzt das Maximum dieser Funktion \(d(x)\) finden. Um das bequem ablesen zu können, empfehle ich folgende Umformungen:

$$d(x)=-0,01x^2+0,7x-6$$$$\phantom{d(x)}=-\frac{1}{100}\left(x^2-70x+600\right)$$$$\phantom{d(x)}=-\frac{1}{100}\left(x^2-70x+\underbrace{35^2-35^2}_{=0}+600\right)$$$$\phantom{d(x)}=-\frac{1}{100}\left[\underbrace{\left(x^2-70x+35^2\right)}_{=(x-35)^2}\underbrace{-35^2+600}_{=-625}\right]$$$$\phantom{d(x)}=-\frac{1}{100}\left[(x-35)^2-625\right]$$$$\phantom{d(x)}=-\frac{1}{100}(x-35)^2+6,25$$Der erste Term mit dem Quadrat ist, wegen des Minuszeichens, immer \(\le0\) und er ist \(=0\) für \(x=35\). Die Funktion \(d(x)\) ist am größten, wenn von den \(6,25\) nichts abgezogen wird. Der Scheitelpunkt liegt daher bei \(S(35\,;\;6,25)\) und der gesuchte maximale Abstand ist \(6,25\).