Stetigkeit im Punkt: "ℚ liegt dicht in ℝ"-Argument?

Question

ein sehr gängiger Aufgabentypus, der mir aus letztem Semester immer noch etwas unklar geblieben ist, ist folgender Sachverhalt:

$$f(x)=\begin{cases} 2x+1 \quad \quad  \quad  \quad , \text{wenn } x\in \mathbb{Q} \\ -2x^2+3x+4 \, \, \,,  \text{wenn } x\notin \mathbb{Q}\end{cases}$$ a) Zeigen Sie, dass \(f\) in \(x_0=-1\) und \(x_1=3/2\) stetig ist.

b) Ist \(f\) in irgendeinem Punkt \(x_2\notin \{-1,3/2\}\) stetig?

Ich vermute, dass das ganze auf einen Epsilon-Delta-Beweis hinausläuft, allerdings kriege ich das bis dato noch nicht hin... Hat jemand einen Ansatz?

Comments

Du könntest auch mit dem Folgenkriterium arbeiten. Betrachte jeweils rein rationale Folgen bzw. rein irrationale Folgen.

Sollte zumindest bei b) reichen.

Bei a) ist epsilon delta vermutlich besser.

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Ich habe das bei a) mit der meines Erachtens greifbareren Definition der Stetigkeit über Folgen gemacht (recht simpel):

Sei \((x_n)_n\subset \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\) eine Folge, die gegen \(x_0=-1\) konvergerie:$$f(x_n)=-2x_n^2+3x_n+4 \to -1=f(x_0)$$

Sei nun \((a_n)_n\subset \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)  eine Folge, die gegen \(x_1=3/2\) konvergiere:$$f(a_n)=-2a_n^2+3a_n+4 \to 4=f(x_1)$$Ich denke genau andersherum, dass bei b) die Epsilon-Delta-Charaktisierung ein mächtigeres Mittel ist, da wir mit dem Argument über dichte Teilmengen arbeiten können.

Könnte man nicht sagen, dass in jeder \(\delta\)-Umgebung um \(x\in \mathbb{Q}\backslash\{-1,3/2\}\) mindestens ein Punkt \(\xi \notin \mathbb{Q}\) liegt und man somit immer ein \(\varepsilon\) findet, das kleiner als \(|f(x)-f(\xi)|\) ist?

Answer 1

Ich denke, dass du auch bei a) an jeder der Stellen -1 und 3/2  beides in

Betracht ziehen musst, nämlich das die Glieder deiner Folge sowohl

aus ℚ als auch aus ℝ\ℚ sein können.

Deshalb würde ich hier auch dem Kommentar folgen. Das könnte so

aussehen.   Stetigkeit bei -1:

Sei ε>0.   Gesucht ist ein δ  mit

    | x - (-1) | < δ  ==>  | f(x) - f(-1) | < ε

bzw.      | x + 1 | < δ  ==>  | f(x) + 1 | < ε    #

Dazu betrachtet man die beiden Fälle x∈ℚ und x∉ℚ :

1. Fall:  x∈ℚ. Damit  zu erkennen ist für welche x dann

                               | f(x) + 1 | < ε gilt forme um:

                | 2x+1 + 1 | < ε   <=>  | 2x+2 |  < ε

                    <=>  | 2(x+1) |  < ε    <=>   2|x+1|  < ε

                        <=>   |x+1|  < ε / 2

Für rationale x hat man also # erfüllt, wenn man δ  = ε/2 wählt.

2. Fall:  x∉ℚ. Damit  zu erkennen ist für welche x dann

                                | f(x) + 1 | < ε gilt forme wieder um:

                | -2x^2 + 3x + 4  + 1 | < ε

<=>        | -2 ( x^2 - 3/2x -5/2 | < ε

<=>       2*|x+1| * |x-5/2|  < ε

<=>          |x+1| * |x-5/2|  < ε   / 2   ##

Nun ist aber für x aus der Delta-Umgebung von -1 sicherlich

x negativ (muss halt  δ < 1 gelten ) und damit  |x-5/2| > 5/2

also folgt ## unter dieser Bedingung sicher für

                           |x+1| < ε   / 5

Wenn also alle Bedingungen

 δ  ≤ ε/2  und  δ<1  und δ ≤  ε/5   gelten

(Dazu wählst du  δ  = min { ε/5  ; 1/2 }. )   wird # gelten.

Ich habe das jetzt mal was  ausführlicher aufgeschrieben, bei einer

Klausur wird man das wohl auf nem Zettel rechnen und dann beginnen

mit :   Sei ε>0.   Wähle    δ  = min { ε/5  ; 1/2 } Dann gilt :

| x + 1 | < δ  ==>

1. Fall  (x∈ℚ)     …..        | f(x) + 1 | < ε

2. Fall  (x∉ℚ)     …..        | f(x) + 1 | < ε

Also immer    | x - (-1) | < δ  ==>  | f(x) - f(-1) | < ε   q.e.d.

Für b) würde ich auch eher nach dem Kommentar vorgehen.

Comments

Gut, das ist verständlich, aber könnte ich nicht auch noch eine rein-rationale Folge wählen, die gegen  \(-1\) strebt, um den Beweis über die Folgen-Charaktierisierung der Stetigkeit zu komplettieren?

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Nein, bei dem Folgenkriterium heißt es

"für jede Folge gegen xo …."

Zum Widerlegen reicht es dann bei b) z.B. eine anzugeben,

bei der es nicht stimmt.

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Nein, das war zu a). Bei b) ist alles klar.

Ich hatte schon den Fall einer rein-irrationalen Folge:

Sei \((x_n)_n\subset \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\) eine Folge, die gegen \(x_0=-1\) konvergerie:$$f(x_n)=-2x_n^2+3x_n+4 \to -1=f(x_0)$$

Sei nun \((a_n)_n\subset \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\)  eine Folge, die gegen \(x_1=3/2\) konvergiere:$$f(a_n)=-2a_n^2+3a_n+4 \to 4=f(x_1)$$

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Mit dem ersten meinte ich auch a).

Wenn es heißt

"für jede Folge gegen xo …."

dann kannst du das nicht auf Folgen mit nur rationalen

oder mit nur irrationalen Gliedern stützen. Es gibt

ja auch Folgen, die gegen -1 konvergieren und

aus rationalen und irrationalen Gliedern bestehen.

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Achso, jetzt verstehe ich es. Das stimmt. Man kann ja eine rein-rationale Folge \((a_n)\subset \mathbb{Q}\) und eine rein-irrationale Folge \((b_n)\subset \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\) mit dem Reißverschlussprinzip zu einer Folge \(a_0,b_0,a_1,b_1,...\) bilden.

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Und danke nochmal für diese Erklärung, durch die ich auch ein besserer Freund der Epsilon-Delta-Charaktierisierung geworden bin! :)