Aufgabe:
In afrikanischen Seen wurden nach Überschwemmungen einige bisher dort nicht vorhandene Tierarten vorgefunden. So entdeckte eine Forschergruppe in einem See einen Bestand von 0,12 Millionen Ruderfußkrebsen, die bisher dort nicht heimisch gewesen waren.
Die Forschergruppe stellte jährlich den Bestand anhand von Stichproben fest und entwickelte daraus ein mathematisches Modell zur Vorhersage des Bestands. Die Änderungsrate wird in diesem Modell durch die Funktion
\( f: f(t)=\frac{e^{t}}{\left(1+e^{t}\right)^{2}} \)
(Df = R+0)
beschrieben. Dabei gibt t die Anzahl der seit Untersuchungsbeginn vergangenen Jahre und f(t) die Änderungsrate in Millionen Individuen pro Jahr an.
Nun soll ich nachweisen, dass f monoton abnimmt. Das habe ich über die Ableitung gemacht, welche, wenn eine Monotonie vorliegt, im vorgegebenen Intervall (von 0 bis 6 für t) nicht größer als Null werden darf.
Als Ableitung bekomme ich:
\( f^{\prime}(t)=\frac{\left(e^{t}\right) *\left(\left(1+e^{t}\right)^{2}\right)-\left(e^{t}\right) * 2\left(1+e^{t}\right) *\left(e^{t}\right)}{\left(1+e^{t}\right)^{4}} \)
Dabei bin ich mir allerdings nicht sicher. Ist das richtig so?
Denke ich mit dieser Ableitung weiter wird sie im Intervallbereich tatsächlich immer Null, was bedeutet, dass f(x) monoton abnehmend ist.
Nun soll ich auch noch herausfinden, was das für den Ruderfußkrebsbestand bedeutet. Meine Vermutung wäre, dass die Population mit der Zeit immer stabiler wird. Es handelt sich ja um die Änderungsrate. Die wäre am Anfang noch 0,25 (wenn man in f(t) Null einsetzt) würde dann aber immer weiter gegen Null gehen. Das heißt im ersten Jahr der Beobachtung sind 250.000 Individuen dazugekommen, in den folgenden Jahren aber immer weniger. Die Population verändert sich also immer weniger.
Wie gesagt ich bin mir dabei alles andere als sicher, also sind meine Annahmen bisher richtig so?
