Sind diese komplexen Funktionen analytisch? Bsp. ) f:C→C, z→z^2*|z|

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie ob folgende Funktionen analytisch sind (und begründen Sie Ihre Aussagen!)

a) f:C→C, x+iy → x^2+y^2−i2xy

c) f:C→C, z→z^2*|z|

Problem/Ansatz:

ich vermute, dass ich zeigen muss, dass die Funktionen differenzierbar sind und zwar komplex gesehen.

Das heißt ja, dass ich den Differenzenquotienten bestimmen möchte.

Dabei habe ich ja einen Limes von h gegen 0.

Ich stelle mir jetzt die Frage z.B. bei a) muss ich jetzt h addieren zu x und zu y? Und wenn ja, handelt es sich um das gleiche h oder sind es verschiedene? Wenn es verschiedene sind, durch was muss ich denn dann teilen, in der Formel steht da ja nur h.

Ich hatte die a jetzt schon einmal durchgerechnet, aber mit dem gleichen h zu x und y und es kommt 2(x+y)-i2(x-y) raus und weil dieser Grenzwert existiert, wäre die Funktion analytisch.

Wäre das so richtig? Oder muss ich das nochmal mit verschiedenen h berechnen?

Liebe Grüße und vielen Dank für jegliche Hilfe.

Comments

Wenn du die Ableitung angeben kannst, brauchst du das nicht über den Differenzenquotienten zu machen. Ob das geht, musst du selbst testen. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2By%5E2%E2%88%92i+2+x+y+

Die geben hier nur die partiellen Ableitungen an. Graphisch sieht der Contour-Plot des Realteils gut aus. Der Imaginärteil hat Vorzeichenwechsel bei den Achsen.

Bei b) hat Wolframalpha eine eindeutige Meinung https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2*%7Cz%7C+ 

In ℂ nigends differenzierbar.

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Vielen Dank für die Antwort.

Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich in den Hausaufgaben mit einem Ableitungsrechner argumentieren darf.

Deswegen wollte ich mir das halt mit dem Differenzenquotienten errechnen, nur scheitere ich an dem h-Problem.

Answer 1

siehe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Analytische_Funktion

Du müsstest hier mit den Cauchy Riemann DGL arbeiten.

a) ist aber ein Polynom in x und y, aber keines in z---> nicht analytisch

b) vermutlich nicht, denn der Betrag ist bereits im reellen nicht in 0 differenzierbar.

Comments

Welches Polynom in z kann man bei a) angeben? Das geht bei mir bisher nicht auf.

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Mmm ich auch nicht. Ich bin davon ausgegangen, dass es reicht, wenn es ein Polynom in x und y ist. Das ist aber falsch. Es muss ein Polynom in z sein.

Der Fragesteller sollte zur Komtrolle noch die Cauchy-Riemann DGL prüfen.

Answer 2

Ich weiß nicht genau, ob das hilft: Die komplexe Zahl z= x+iy wird in ihre konjugiert komplexe Zahl \(\overline{z}= x-iy\) abgebildet, welche anschließend quadriert wird.

Comments

Meinst du damit den Teil a) ?

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Ja. Ich bin inzwischen schon weiter. z lässt sich als e hoch... darstellen, das geht mit einer Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius. Gleiches gilt für \(\overline{z}\) und sollte wohl auch für \(\overline{z}^2\) gelten...