Ableitung des Skalarproduktes bestimmen

Question

Guten Morgen.

Ich würde gerne die Ableitung des Skalarproduktes berechnen, das wie folgt definiert ist:

f: ℝ^(n+n) -> ℝ, f(x,y) = x*y.

Wie bestimme ich hier f'(x,y)?

Die Definitionsmenge entspricht hier doch ℝ^(2*n) = (ℝ^2)^n. Wie habe ich das zu interpretieren? Ist das eine 2xn-Matrix?

Leider stehe ich aktuell sehr auf dem Schlauch und würde mich über einen Ansatz freuen.

Vielen Dank!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie f`(x; y), wobei die Funktion durch f(x,y)=x*y definiert sei

Stichworte: analysis,funktion,skalarprodukt

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Die Funktion f: ℝ^(n+n) → ℝ sei definiert durch f(x, y) = x*y, wobei x*y das Skalarprodukt bezeichnet. Wir sollen nun f ' (x, y) bestimmen.

Wegen dem f ` (x, y) wollte ich zunächst partiell ableiten:

Nach x: 1

Nach y: 1

aber das ist so wohl nicht richtig. Muss bei dieser Aufgabe überhaupt abgeleitet werden? Wäre über Hilfe sehr dankbar! 

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Die Frage kam gestern schonmal:

https://www.mathelounge.de/668539/ableitung-des-skalarproduktes-bestimmen

x und y sind Vektoren, da kannst du nicht einfach so wie in der Schule ableiten ;)

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Dankeschön! =)

Answer 1

überlege es dir doch an dem einfachen Fall n=2:

$$f(x_1 ,x_2 ,y_1, y_2)=x_1y_1+x_2y_2\\f'=grad(f)=\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\x_1\\x_2 \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für die zügige Antwort!

Wenn ich die Überlegung dann wieder auf n ausweite, erhalte ich doch folgendes, nicht?:

\(f(x_1,...,x_n ,y_1,..., y_n)=x_1y_1+...+x_ny_n\\f'=grad(f)=\begin{pmatrix} y_1\\...\\y_n\\x_1\\...\\x_n \end{pmatrix}\)

Ist das dann schon die korrekte Lösung? Kann man den Gradienten noch nett zusammenfassen? Die Ergebnisse sind ja im Grunde nur die Einträge der jeweiligen Vektoren.

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Ja das ist richtig so. Ich weiß auf Anhieb auch nicht, wie man es geschickter aufschreiben kann.

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Trotzdem vielen Dank für die Hilfestellung! :)