Exponentialfunktionsschar mit Extrempunktaufgabe

Question

Die Wendetangente am Schaubild von \( f_t ( x ) = ( x + t ) · e ^ { - x } \)und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Für welches t wird sein Flächeninhalt maximal?

Ich habe bereits die Tangentengleichung: \( y = - e ^ { t - 2 } · x + e ^ { t - 2 } · ( 4 - t ) \)

Komme jetzt nicht weiter.

Answer 1

Also deine Wendetangente ist schon prima.

f '(x) = - x·e^{t - 2} - t·e^{t - 2} + 4·e^{t - 2}

Jetzt brauchst du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Der Y-Achsenabschnitt ist einfach

Y-Achsenabschnitt: - t·e^{t - 2} + 4·e^{t - 2}

Die Nullstelle bekommt man über

- x·e^{t - 2} - t·e^{t - 2} + 4·e^{t - 2} = 0

- e^{t - 2}·(x + t - 4) = 0

x = 4 - t

Für den Flächeninhalt gilt

A = 1/2 * (- t·e^{t - 2} + 4·e^{t - 2}) * (4 - t) = e^{t - 2}·(t - 4)^2/2

Das muesste man nun Ableiten

A' = e^{t - 2}·(t - 2)·(t - 4)/2

Das wird jetzt für t = 2 oder t = 4 gleich Null und damit erwarte ich dort meine maxi- bzw. Minima

Also noch eine Ableitung machen und Einsetzen

A'' = e^{t - 2}·(t^2 - 4·t + 2)/2

A''(2) = -1 ==> Maximum

A''(4) = e^2 ==> Minimum

Ich hoffe die Rechnungen waren richtig. Heute ist nicht mein Tag :)

Für t = 1, 2, 3 habe ich noch eine Skizze samt Wendetangente gemacht. Man kann hier sehen das zumindest bei 2 das Dreieck größer ist als bei 1 und 3.

Comments

Hallo (jetzt richtig) Ich bin der fragesteller.

Könntest du bitte ohne rechnung sagen wie du vorgegangen bist?

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Von Deiner Wendetangente suchst Du die Achsenabschnitte, da mit den Achsen ein Dreieck gebildet werden soll.

Dann stellst Du die Formel für die Dreiecksfläche ab und leitest sie ab, weil wir wo die Ableitung 0 wird die Extremstellen erwarten. Dann seten wir die Extremstellen noch in die 2. Ableitung ein um zu schauen ob wir damit ein Minimum oder Maximum ausgerechnet haben.

Der Flächeninhalt sollte für t = 2 maximal werden.

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YOU ARE THE BEST!!! THANKS!

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Noch eins: Wie ist die Formel für den Flächeninhalt normal und in diesem fall? Da kann ich dir noch nicht ganz folgen!

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Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist

A = 1/2 * Grundseite * Höhe

Grundseite ist hier der y-Achsenabschnitt und die Höhe der x-Achsenabschnitt.