Zeigen, dass rekursiv definierte Folge a_{n+1}:=1/(1+a_{n}) mit a_{1}:=1 Cauchy-Folge ist. Grenzwert?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die durch a₁:= 1 und a_n+1:=1/(1+a_n) definierte Folge eine Cauchy-Folge (a_n)_n in ℝ bildet und berechnen Sie den Grenzwert dieser Folge.

Problem/Ansatz:

Bisher ist mir aufgefallen, dass a_n= f_n-1/f_n ist, wobei f_n das n-te Glied der Fibonacci-Folge ist. Allerdings haben wir diese nicht behandelt bisher. Weiter reicht es ja, die Konvergenz der Folge zu zeigen, da ja jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Allerdings weiß ich gerade nicht, wie ich dies zeige.

Comments

https://www.mathelounge.de/492623/zeige-rekursive-folge-ist-cauchy-folge-a-n-1-1-2-a-n-a-1-0

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@Nakriin: Die Zahlen muss man wohl noch ändern. Schaffst du das?

 

Habe dafür gesorgt, dass (n+1) tiefgestellt ist. Wenn du bloss n tiefstellst, ist das keine rekursive Definition.

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Deine Zahlen hatten wir übrigens hier schon einmal https://www.mathelounge.de/183022/cauchy-folge-zahlenfolge-existiert-deart-dass als Teilaufgabe b) damals mit a_{0}:=1. D.h. Indexverschiebung. Das hat keinen Einfluss auf den Grenzwert. 

Falls du deine Frage beantworten kannst, darfst du gern zur offenen Frage von 2014 eine Antwort verfassen.

Answer 1

Deine Fibonnacci-Idee kannst du mit einem Blick auf https://www.mathelounge.de/203970/folge-der-fibonacci-zahlen-rekursiv-uberprufen-sie-x-n-1-x wahrscheinlich auch umsetzen, falls die Links in den Kommentaren noch nicht zum Ziel geführt haben.