Skalarprodukt Höhere Mathematik

Question

HI,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Aufgabe.
Zeigen Sie, dass für Skalarprodukte die folgende Aussage gilt:

$$ |\vec{a} +\vec{b} |^2=|\vec{a} |^2+|\vec{b} |^2 $$ ⇔ $$ \vec{a} \vec{b}  =0$$

Problem/Ansatz:

Ist das so richtig, dass man da einfach

A+A
B+B

berechnet? Oder denke ich falsch?

Comments

Soll das |\( \vec{a} \) +\( \vec{b} \) |=|\( \vec{a} \) |²+|\( \vec{b} \) |² heißen?  

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ja solte es

in schrift,

Betrag Vektor von a + Vektor von b Betrag

=

Betrag Vektor von a hoch 2 + Betrag Vektor b hoch 2

gilt genau dann

wenn vektor von a mal vektor von b = 0

Answer 1

Die Gleichung zum Satz des Pythagoras gilt nur, wenn das Dreieck rechtwinklig ist.

Answer 2

es hat ein Quadrat gefehlt, sonst stimmt es nicht.

Es ist

$$ |a+b|^2=(a+b)(a+b)=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2$$

genau dann, wenn $$ab=0$$

Comments

ah deswegen kam ich nicht auf die lösung.  Vielen dank.

man nimt einfach eine der Bionomische Formel, und stellt dann einfach nach 0 um?

wenn ich es jetz richtig verstehe? 

da ja Betrag sagt. nimm nur die länge davon.

oder ist meine denkweise jetz doch falsch?

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ach und am ende nimmt  man den phetagoras,  und die wurzel , um die pozenzen weg zu bekommen 

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Zum auflösen von

$$(a+b)(a+b)$$ nimmt man die binomische Formel, sie gilt auch in reellen Vektorräumen, da das Skalarprodukt hier symmetrisch ist. Wenn du von deiner Gleichung oben ausgehst und dann auf beiden Seiten a^2+b^2 abziehst, bleibt dann nur noch

$$2ab=0$$

Das ist bereits der Satz des Pythagoras.

a+b entspricht vektoriell der Seite c im Dreieck.

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ah okay vielen dank,

aber die Betrag kann man am ende weglassen?

da ja gezeigt werden soll, mit Betrag striche.

aber mir wurde erklärt, das im vektor raum, der Betrag, nur sagt.

Bitte die länge des vektorraums berechnen.

oder wurde mir da etwas falsches gesagt?

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also habe es nochmal berechnet

nach meiner menung ist es dann jetz so

$$ |a⃗ +b⃗ |^2= 0 $$

$$ (a+b)(a+b)=0 $$

$$ a^{2}+b^{2}+2ab=0 $$

$$ a^{2}+b^{2}+2ab=a^{2}+b^{2} $$

$$ 2ab=0 $$    dann durch |:2

$$ ab=0 $$

so müst es richtig sein, mit Rechnung.

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So ist es richtig :)

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Danke für die überprüfung