Seien \(\mathbb{Z}_n := \{[0]_n,\ldots,[n-1]_n\}\) die n verschiedenen Äquivalenzklassen von \(\mathbb{Z}\) bezüglich \(\equiv \text{(mod n)}\).
Auf dieser Menge ist ohne Beweis angenommen, dass durch \([a]_n\cdot [b]_n := [a\cdot b]_n\) eine wohldefinierte Operation gegeben ist. Sei \(\mathbb{Z}^{\ast}_n = \{[x]_n | \text{ggt}(x,n)=1\}\) die Menge der Klassen, deren Repräsentanten zu n teilerfremd sind. Es wird wieder ohne Beweis als gegeben angenommen, dass \((\mathbb{Z}^\ast_n,\cdot)\) wohldefiniert ist und eine Algebra (Gruppe?) darstellt.
Zu lösen:
1) Ist die Menge \(\{[2]_7,[3]_7\}\) ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{Z}^\ast_7\)?
2) Geben Sie mit Begründung ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{Z}^\ast_7\) an, das nur ein Element enthält (aus einer Klasse besteht).
Vorversion:
Zn = {0 ̅, 1 ̅, . . . , (n - 1) ̅} ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ≡n. Durch
(a*b) ̅ = a ̅ • b ̅ ist eine zweistellige Operationen auf Zn definiert. Sei Z∗ n := {x ̅ ∈ Zn|ggT(x, n) =
1} (ggT(a,b) bezeichne den größten gemeinsamen Teiler von a und b). Gemäß der Vorlesung
definiert (Z∗ n, •) eine Algebra.
• Entscheide begründet, ob {[2]∼ 7, [3]∼ 7} ein Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) ist.
• Gib begründet ein einelementiges Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) an.
