Gleichung 4. Grades in Gleichung 2. Grades umschreiben: Gleiches Ergebnis?

Question

Aufgabe:

Konkret geht es um ein gekoppeltes System von DGLs (physikalisch: Eigenmoden), das als Eigenwertproblem gelöst werden soll bzw. hier ab Minute 10: https://www.youtube.com/watch?v=9NlGuQ26y80

Problem/Ansatz:

Verallgemeinert ist es eine Gleichung der Form

(a+b+cx²)² - b² = 0

Ich habe mir die Mühe gemacht und die Gleichung in

c²x^4 + (2ac + 2bc)x² + (2ab+a²) = 0

umzuformen. Das kann man dann halt wie bekannt durch Substitution z := x² lösen und bekommt etwas sehr Umständliches heraus.

Im Video wird es viel viel einfacher gemacht: Da wird das "-b²" auf die andere Seite gepackt und Wurzel gezogen. Der Rest ist einfach nur noch schön anzuschauen.

Ist das ausnahmsweise nur hier so, dass das so schön geht? Warum kriege ich so etwas Kompliziertes am Ende heraus? Ist das falsch?

Answer 1

Wie wäre es, die linke Seite zu faktorisieren (dritte binomische Formel) und die entstehenden Faktoren einzeln auf Nullstellen zu untersuchen? Das wären dann zwei quadratische Gleichungen.

Comments

Ich sehe da gerade keinen Ausdruck der Form (a²-b²) …

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(a+b+cx²)² - b² = 0

Ich schon.

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Ich auch.                            .

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Okay, ja, da steht natürlich etwas mit a²-b², wobei sich das b² auch wieder rauskürzt (man kann auch in der längeren Gleichung mit b² quadratisch ergänzen). Wenn ich das mache, habe ich also diese lange Gleichung mit (a²-b²) stehen. Ich verstehe nicht ganz, wie ich jetzt Nullstellen erkennen soll?

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Wir reden von (a+b+cx²)² - b² = 0, also von

(a+b+cx²+b)(a+b+cx²-b) = 0.

Das wird nur Null, wenn eine der beiden Klammern Null wird.

Zu lösen sind also die simplen Einzelgleichungen

a+2b+cx²=0

und

a+cx²=0

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Oooooh, achsooo meintet Ihr das!! Okay, ja, das lässt sich dann lösen. Die zweite Gleichung ergibt dann etwas Komplexes, nicht wahr?

Meine Lösungen sind dann

x(1,2) = -bc ± √(b²c² - a/c)

x(3,4) = ± i √(ac/2)

Im Video oben erhält man allerdings die Lösungen:

x(1,2) = ± i √(a/c)

x(3,4) = ± i √([a+2b]/c)

Also nochmal eine dritte andere Lösungsmenge. :-D