Sei K ein angeordbeter Körper

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein angeordneter Körper und \( x \in K . \) Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

$$ (1+x)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) x^{k} $$

Hinweis: Sie dürfen, ohne Beweis, die Identität \( \left(\begin{array}{c}{n+1} \\ {k}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{n+1} \\ {k}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k-1}\end{array}\right) \) für alle \( k, n \in \mathbb{N}_{0} \) mit \( k \leq n+1 \)

verwenden, wobei \( \left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=0 \) falls \( k>n \) oder falls \( k<0 \).

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen: \((1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\)

Induktionsverankerung bei \(n=0\):

$$(1+x)^n=(1+x)^0=1=\binom{0}{0}x^0=\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}x^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):

$$(1+x)^{n+1}=(1+x)\cdot(1+x)^n$$$$\stackrel{I.V.}{=}(1+x)\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+x\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$$$=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^k$$$$=\binom{n}{0}x^0+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}x^k+\binom{n}{n}x^{n+1}$$$$=1+\sum\limits_{k=1}^n\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]x^k+x^{n+1}=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+x^{n+1}$$$$=\binom{n+1}{0}x^0+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+\binom{n+1}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^k\quad\checkmark$$