Beweisen sie, dass ein beliebiges LGS entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat

Question

Hallo

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat, das heißt zeigen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem mit 2 verschiedenen Lösungen bereitsunendlich viele Lösungen besitzt. Tipp: Was gilt für den Mittelwert zweier verschiedener Lösungen des Systems?

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, warum ein LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat. Ich glaube den Tipp verstehe ich auch: Der Mittelwert zweier Lösungen a und b ist natürlich auch immer eine Lösung c - und da man aus einer Lösung a und dem Mittelwert zweier Lösungen c auch wieder den Mittelwert bilden kann hat man unendlich viele Lösungen.

Ich würde gerne wissen, wie ich das ganze formal aufschreibe.

Dankeschön und LG

Comments

So wirklich ganz allgemein stimmt die Aussage gar nicht. Bei Gleichungssysteme über endlichen Körpern beispielsweise kann es nur endlich viele Lösungen geben, da es nur endlich viele Vektoren gibt. Aber ich vermute, dass nur LGS über den Körpern ℚ oder ℝ oder ℂ gemeint sind. 

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Das stimmt - wir haben das in unserem Kurs nur für die reellen Zahlen definiert - deswegen hatte ich das nicht auf dem Schirrm

Answer 1

Vermutlich sind Gleichungssysteme mit reellen Zahlen gemeint.

Jedes solche Gl. System läßt sich schreiben mit einer Matrix A

und einem Vektor und x ist der Lösungsvektor:

A * x = b gibt es eine zweite von x verschiedene Lösung y,

dann hat man auch A*y=b .

Und damit auch

A*x + A*y = 2b

<=> A*(x+y) = 2b

<=> A*(0,5*(x+y)) = b  #

Und wenn x und y verschieden und aus R^n sind, dann ist auch

0,5*(x+y) von beiden verschieden und # sagt, dass

es auch eine Lösung ist. Für den Rest hattest du

ja schon argumentiert.