Hallo,
Überführen würde ich sie so:
Die Menge \(\mathbb Z_3\) besteht nur aus den Elementen \(0,\,1,\,2\, \in \mathbb Z_3\). Dann sollte das LGS eher so aussehen: $$\begin{array}{cccc|c}1& 1& 1& 0& 2\\ 0& 1& 0& 0& 2\\ 2& 0& 1& 0& 2\\ 2& 0& 1& 0& 2\end{array}$$Jetzt sieht man schon, dass die vierte Spalte der Nullvektor ist und die dritte und vierte Zeile identisch sind. D.h. es gibt nicht unendlich viele, aber drei Lösungen - vorausgesetzt die Determinante der oberen linken \(3\times 3\)-Matrix ist ungleich null. Drei, weil \(|\mathbb Z_3| = 3\) ist. Und die Arbeit reduziert sich auf die Lösung der oberen linken \(3\times 3\)-Matrix.
Ich habe als Lösungsvektor$$\vec x = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 1\\ t\end{pmatrix} \quad t \in \mathbb Z_3$$Bem.: wären die dritte und vierte Zeile unterschiedlich, gäbe es i.A. keine Lösung.
Dann habe ich sie in Stufenform geschrieben und das raus:
Multipliziere die dritte Zeile noch mit \(2\), dann stehen auf der Hauptdiagonalen nur \(1\)'en bzw. die dritte Zeile ist falsch. Überprüfe das nochmal. Und ersetze das \(-2\) durch eine \(1\).
