Zeigen Sie, dass die Abbildung linear ist. Ist φA injektiv?

Question

Sei \( K \) ein Körper und sei \( A \in K^{n, n} \) gegeben. Zeigen Sie, dass die Abbildung
$$ \varphi_{A}: K[t] \rightarrow K^{n, n}, \quad p=\sum \limits_{j=0}^{m} p_{j} t^{j} \mapsto p(A)=\sum \limits_{j=0}^{m} p_{j} A^{j} $$
linear ist und rechtfertigen Sie damit den Namen Einsetzhomomorphismus für diese Abbildung. Ist \( \varphi_{A} \) injektiv?

Comments

Vielleicht hilft der Satz von Cayley-Hamilton.

Answer 1

Zuerst paar Vereinfachungen. Ist \( p = \sum_{j=0}^m p_jt^j\), dann ist es immer noch selbe Polynom, wenn wir \(p_j = 0\) für \( j >m  \) setzen. Damit können wir nun \( p\) als unendliche Summe darstellen $$ p =  \sum_{j=0}^\infty p_jt^j.$$ 
Seien \(a \in K\) und \(p, q \in K[t] \), dann gilt $$ap+q= \sum_{j=0}^\infty (ap_j+q_j)t^j.$$
Wir beweisen nun die Linearität:
$$\phi_A(ap+q)=(ap+q)(A)=\sum_{j=0}^\infty (ap_j+q_j)A^j=a\sum_{j=0}^\infty p_jA^j+\sum_{j=0}^\infty q_jA^j=a\phi_A(p)+\phi_A(q).$$

\(  \phi_A\) ist im Allgemeinen nicht injektiv, denn für  \(n=1, K=\mathbb{Z_2}, p=1+t, A=1 \), dann \( \phi_1(1+t)=1+1=0\), obwohl p kein Nullpolynom ist,

Comments

Nicht nur im Allgemeinen, sondern nie! Für jedes \(A\) ist \(\varphi_A(\chi_A) = 0\), das ist genau die Aussage von Caley-Hamilton. Nicht-konstruktiv sieht man das auch indem man erkennt, dass \(K[t]\) ein unendlich-dimensionaler \(K\)-Vektorraum ist, während \(K^{n\times n}\) das nicht ist und \(\varphi_A\) linear ist.

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Verstehe, danke für die Bemerkung.