Exponentielles Wachstum: Produktionsmaschinen mit einem jährlichen Wertverlust von 3,5 %

Question

Aufgabe:

Für die Produktionsmaschinen eines Betriebs geht man von einem jährlichen Wertverlust von 3,5% aus. Begründe, dass der Wert der Maschinen, unabhängig von ihrem Kaufpreis, in demselben Zeitraum auf die Hälfte sinkt.

Musterlösung:

Es handelt sich um exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme).

Gegeben: P= -3.5%.

Der Wachstumsfaktor ist q=1+q=1- 0,035=0,965.

Gesucht: t mit B(t) = 0,5·B(0). Es gilt: 0,5·B(0)=B(0)·0,965^t /:B(0)

0,5=0,965^t.

Diese Gleichung enthält B(0) nicht mehr. Deshalb ist die Anzahl der Jahre (t) in jedem Fall unabhängig vom Anfangswert.

Tabelle:

t	15	20	19
0,965^t	0,59	0,49	0,51

Den Wert für t erhält man durch eine Einschachtelung.

Nach etwa 19 bis 20 Jahren ist der Wert der Maschine auf die Hälfte gefallen.


Problem:

Ich verstehe, wie man q ausgerechnet hat aber der Rest nicht. Warum jetzt aufeinmal mit 0,5 und diese neuen Gleichungen.

Answer 1

Der Ansatz: 0,5·B(0)=B(0)·0,965t wird durch B(0) dividiert. Daher fällt B(0) heraus und die Gleichung 0,5=0,965^t bestimmt die sogenannte Halbwertzeit: t=ln(0,5)/ln(0,965)≈19,5 unabhängig von B(0).

Answer 2

Die Aussage: "Der Wert ist auf die Hälfte gesunken." muss man

ja als Basis für die Rechnung nehmen.

Der Wert nach der Zeit t ist    B(t) = B(0)*q^t

und wenn B(t) nur noch die Hälfte von B(0) sein soll ,

kannst du ja statt B(t) einsetzen 0,5*B(0) und hast dann

0,5*B(0) =  B(0)*q^t  und dann durch B(0) teilen;: denn das ist ja nicht 0.

0,5 = q^t

und das q ist ja bekannt, also

0,5 = 0,965 ^t   .

Und hier kommt das B(0) nicht mehr vor, also hängt das t (Die Zeit

bius zur Halbierung des Wertes) nicht vom Anfangswert ab.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe noch eine kleine Frage und zwar warum hat man durch B(0) gerechtnet. Das möchte ich noch genauer verstehen

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Das B(0) kommt ja als Faktor auf beiden Seiten der

Gleichung vor. Dann teilt man doch eigentlich immer

zur Vereinfachung dadurch. Wenn du z.B. hast

2,756x = 2,756a dann nimmst du

doch auch einfacher  x=a.

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Ah ja stimmt man soll kürzen. Vielen Dank ☺️

Answer 3

Etwas einfacher
1. Jahr : Abnahme auf 0.965 des Anfangswerts
2. Jahr : erstes Jahr * 0.965 = 0.965 * 0.965
= 0.965 ^2 = 0.9312
3. Jahr : 0.965 ^2 * 0.965 = 0.965 ^3 = 0.8986
usw

Frage : wann ist
0.965 ^t = 0.5 |  ln ( )
ln ( 0.965 ^t ) = ln ( 0.5 )
t * ln ( 0.965 ) = ln ( 0.5 )
t = ln ( 0.5 ) / ln ( 0.965 )
t = 19.46 Jahre

Etwas gediegener

W ( t ) = Wert zum Zeitpunkt t
W0 = Wert zu Anfang

W ( t ) = W0 * 0.965  ^t
W ( t ) / W0 = 0.965 ^t
Der Wert zum Zeitpunkt t soll 50 % des
Anfangswert betragen. Also
W ( t ) / W0 = 0.5
0.5 = 0.965 ^t
Weiter gehts wie oben.

Das ist aber noch nicht die Beantwortung der Frage
Es soll nachgewiesen werden das
W ( t ) = W ( t + 19.46 ) * 2
W0 * 0.965 ^t = W0 * 0.965 ^( t + 19.46 ) * 2
0.965 ^t = 0.965 ^( t + 19.46 ) * 2

0.965 ^t = 0.965 ^t * 0.965 ^19.46 * 2
0.965 ^t / 0.965 ^t = 0.965 ^19.46 * 2
1 = 0.965 ^19.46 * 2
1 = 0.5 * 2 = 1  Bingo
Im Zeitraum von 19.46 findet stets eine Halbierung
des Werts statt.