Integralrechnung..........

Question

Text erkannt:

Aufqabe: \( \quad \) Das Schmuckstück"
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Die dunkel unterlegten Teile der Schmuckform sollen mit Blattgold belegt werden. Die Linien sind Parabeln und Kreise. \( 1 \mathrm{cm}^{2} \) Blattgold kostet einschließlich Belegung \( € 7,99 \).
Wie teuer wird die Blattgoldarbeit?

Answer 1

Du könntest die Funktionen in der Scheitelpunktform aufstellen.

Ich nehme dafür nur die nach unten geöffneten Parabeln:

f(x) = -1.5/3^2·x^2 + 1.5 = 3/2 - 1/6·x^2
g(x) = -1/2.5^2·x^2 + 1 = 1 - 0.16·x^2

Skizze:

~plot~ 3/2 - 1/6·x^2;1 - 0.16·x^2 ~plot~

Comments

Oki danke, was sind jetzt die Grenzen die ich bei den Integrationsgrenzen einsetzen soll?

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für h(x) = -1,5x²-1,5

l(x) = 0,16x²-1

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Was versuchst du mit h(x) und l(x) zu fabrizieren?

h(x) wäre eh verkehrt.

Mache dir die einfach die Symmetrie zunutze. Brauchst du dann h(x) und l(x)?

Am zweckmäßigsten ist es aber wenn du dir zunächst überlegst warum ich meine Funktion so aufgestellt habe wie sie dort steht.

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ne brauche ich nicht

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Ich würde die Funktion f von -3 bis 3 integrieren und g von -2 bis 2 und die Differenz bilden.

Die Stammfunktionen sind F(x) = 1,5x -\( \frac{1}{18} \) x³ und G(x) = x - 0,05x³

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Achso ich verstehe, aber wie bekomme ich von f und g die Fläche raus?

2 * \( \int\limits_{0}^{3} \)  (f(x) -g(x)) dx = 3 stimmt das?

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ne brauche ich nicht

Genau. Und was der faule Mathematiker nicht braucht, dass macht er auch nicht. Alles was du umsonst machst kostet im Zweifel wertvolle Zeit. Die kannst du lieber investieren das das was du aufschreibst richtig ist.

Weiterhin steigt die Zahl der Fehler proportional mit der Menge die du notierst. Also auch deswegen möglichst wenig aufschreiben ;)

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Ich würde die Funktion f von -3 bis 3 integrieren und g von -2 bis 2 und die Differenz bilden.

Immerhin hast du später bemerkt das du auch die Horizontale Symmetrie ausnutzen kannst.

aber f(x) - g(x) ist im Intervall von 2.5 bis 3 sicher unsinnig. Daher würde ich hier nicht die Differenzfunktion nehmen.

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Haha ja danke.

Eine Frage Silva müsste DIE iNTEGRATIONSGRENZEN NICHT -2,5 UND 2,5 SEIN

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Ich würde die Funktion f von -3 bis 3 integrieren und g von -2 bis 2 und die Differenz bilden.

Ja. Oder besser von 0 bis 3 und von 0 bis 2.5

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A1 = \( \int\limits_{0}^{3} \) (-1/6x²+3/2) dx = 3

A2 =  \( \int\limits_{0}^{2,5} \) (-1/6x²+1) dx = 1,55

stimmt das??

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stimmt das??

Das kannst du sicher mit dem Taschenrechner oder einem Onlinetool überprüfen. Dazu brauchst du bestimmt nicht uns oder?

Ich hatte aber so weit wie möglich mit exakten Werten gerechnet und nicht gerundet. Und wenn man schon rundet dann bitte auch richtig.

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Und es wäre ratsam denn auch die richtigen Funktionen zu nutzen.

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gut mache ich. Wenn ich jetzt nachher die Differenz bilde und mal nehme habe ich das ja

Wie bekomme ich ganz recht und links die Fläche raus?

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Wie bekomme ich ganz recht und links die Fläche raus?

Die Fläche entsteht doch zwischen einem Graphen und der x-Achse oder nicht?

Also auch einfach nur ein einfaches Integral.

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Ja. Oder besser von 0 bis 3 und von 0 bis 2.5

Ja, das ist natürlich einfacher.

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ich bekomme ich immer zwei Lösungen raus?

ich habe 5,472 raus für dn gesamt parabel teil:

A3 = 3 - 235/144 = 197/144

A3 * 4 = 5,472

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Ich bekomme für den Parabelteil

68/9 = 7.556

heraus. Also hier würde noch der Kreisring fehlen.

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aber wie das denn?

A1 = \( \int\limits_{0}^{3} \) (-1/6x²+1,5)dx = 3

A2 = \( \int\limits_{0}^{2,5} \) (-1/6x²+1)dx = 235/144

Ages1  =A1 -A2 = 197/144

197 /144 * 4 = 5,472 -> wie bekommst du dort 7,556?

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Welche Funktion nimmst du den für A2 und Was ist mit der Fläche im Intervall von 3 bis 4?

Du machst viel zu viele Flüchtigkeitsfehler. Arbeite langsam und sorgfältig.

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Für den Kreis ring habe ich:

A = pi * 1² -pi *0,5² = 2,356 dm²

und für den rechten und linken Streifen erhalte ich:

5/9 *4 = 20/9

Da \( \int\limits_{3}^{4} \) (-1&6 x² +1,5) dx = |-5/9 |=  5/9

5/9 4 = 20 /9

 Also: 5,472 +2,356 +20/9 = 10,05 dm²

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Für A2 habe ich die Funktion g(x) genommen

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Also der Kreisring und der "Streifen" sind richtig.

Ich habe den Streifen bei mir in den Parabelteil eingerechnet.

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Achso, das macht natürlich Sinn. Also stimmt meine Lösung am Ende?

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Als gesamt Kosten habe ich nun:

10,05 dm² = (entspricht)1005 cm²

Kosten = 1005 * 7,99€ = 8029,95€

Stimmt das jetzt sooo?

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Ich habe etwas anderes heraus. Aber ich habe ja schon an deiner Fläche A2 gezweifelt. Und bevor du an den Preis gehst sollten wir uns über die Fläche einig sein. Es kann auch sein das ich ein Fehler gemacht habe. Aber irgendeiner hat mind. einen Fehler gemacht wenn wir etwas unterschiedliches für die Fläche herausbekommen.

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Aber warum es macht doch voll sinn. Die ich habe die linken rechten streifen nciht zu summiert. somit habe ich das geamcht und habe die gleiche Lsöung raus.

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oder kannst du mir Foto von deiner Rechnung geben und dann die wieder löschen

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Dieses wäre meine Rechnung

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Ich glaube du hast einen Fehler gemacht

∫ (1-0,16x², x, 0,2,5)dx da hast du die Funktion g aus gewähl alledings müsste es die Funktion f sein.

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Du meinst ich soll alles mit der Funktion f(x) rechnen? Wozu stellt man dann überhaupt g(x) auf wenn sie dann nicht benötigt wird.

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das heißt nicht das man es zwangsläufig verwenden muss.

Bist du dir sicher?

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Selbstverständlich bin ich da sicher. Du hast hier typisch eine Fläche zwischen zwei Graphen. Da braucht man natürlich beide Graphen zur Berechnung.

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Bei deiner Rechnung

∫(-1/6x²+1, x, 0, 2,5) dx = 235/144 = 1,63194

Erhalte ich eine andere Lösung mit dem Rechner

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Erhalte ich eine andere Lösung mit dem Rechner

Ja. Aber das ist nicht meine Schuld wenn du nicht mal in der Lage bis meine Funktion fehlerfrei zu übernehmen. Das habe ich aber oben schon kritisiert.

Answer 2

Wie du richtig erkannt hast, benötigst du (abgesehen von den Kreisen) Integralrechnung.

Lege dir das Koordinatensystem am besten in den Mittelpunkt des Kreises. Nutze dann die angegebenen Maße, um die Gleichungen der Parabelbögen zu erstellen. Erst danach musst du dir über die Integrale und ihre Grenzen Gedanken machen.

Comments

ich habe Probleme die Funktion zu ertellen

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Einer der Bögen hat Nullstellen bei 3 und -3 und den Scheitelpunkt ( 0 | 1,5). Verwende diese Angaben, um f(x)=a*x²+c aufzustellen.

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für h(x) = -1,5x²-1,5
l(x) = 0,16x²-1

Answer 3

1) ein x-y-Koordinatensystem einzeichnen.Der Ursprung liegt im Mittelpunkt der Kreisringfläche

Große Parabel Scheitelpunkt bei Ps(0/15)  xs=0 und ys=3dm/2=1,5dm=15cm

einfachste Form der Parabel y=f(x)=a*x²+C

f(x)=a*x²+15cm Nullstellen bei x1=-30cm und x2=30cm (aus Abstand der beiden Nullstellen d=6dm=60cm)

f(30)=0=a*30²+15  → a=-15/30²=-15/900

fg(x)=-15/900*x²+15

integriert

Fg(x)=Integral(-15/900*x²+15)*dx)=-15/900*Int.(x²+15*Int.(dx)

Fg(x)=-15/900*x^(2+1)*1/(2+1)+15*x+c

Fg(x)=-15/2700*x³+15*x+15

A=obere Grenze minus untere Grenze  xo=30 und xu=-30

Ag=(-15/2700*30³+15*30) - (-15/2700*(-30)³+15*(-30))=(300) -(-300)

Ag=300+300=600 cm²

Dies ist die Fläche zwischen den Graphen f(x)=-15/900*x²+15 und der x-Achse.

Nun muß man die Fläche der kleinen Parabel abziehen

Scheitelpunkt bei xs=0 und ys=2dm/2=1dm=10cm Nullstellen bei x1=-2,5dm=-25cm und x2=2,5dm=25cm

fk(x)=a*x²+10cm

fk(25)=0=a*25²+10  a=-10/25²=-0,016

fk(x)=-0,016*x²+10 integriert

Fk(x)=Integral((-0,016*x²+10)*dx)=-0,016*Int.(x²*dx)+10*Int.)dx)

Fk(x)=-0,016/3*x³+10*x+C

Nun die kleine Fläche ausrechnen,wie bei Fg(x)=...

obere Grenze xo=2,5dm=25cm und xu=-2,5dm=-25cm

Den Rest schaffst du wohl selber.Das ist einfach nur viel Rechnerei

Beachte auch die Kreisringfläche

Ak=große Fläche minus kleine Fläche=da²*pi/4-di²*pi/4=pi/4*(da²-di²)

Comments

Das habe ich alles schaumal unter Mathecouch kommentaren

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Ist nur wegen der Ausführlichkeit und ich bekomme dafür 7 Punkte.

Die Aufgabe ist relativ einfach,allerdings mit viel Rechnerei verbunden,die hier wohl keiner umsonst macht.

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Die Aufgabe ist relativ einfach,allerdings mit viel Rechnerei verbunden,die hier wohl keiner umsonst macht.

Soviel Rechnerei ist das doch gar nicht. Hab ich doch schon vorgemacht.

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Ist nur wegen der Ausführlichkeit und ich bekomme dafür 7 Punkte.

Und ich habe mir schon Gedanken gemacht, welcher andere tiefere Sinn hinter deinen zumeist peinlichen Ergüssen zu längst von anderen Usern besser beantworteten Fragen steckt.

Du erlaubst doch, dass ich mir diese Zeile kopiere und dich bei deinen zukünftigen "Antworten"  gegebenenfalls an dieses unsterbliche Zitat erinnere?

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Die Fragesteller haben mich innerhalb von 3 Wochen 18 mal ausgezeichnet,keiner war besser als ICH !!!