Löse die Gleichung mithilfe der Substitution : x^4 - 3x² - 4 = 0

Question

Löse folgende Gleichung mithilfe der Substitution : x^4 - 3x² - 4 = 0, wie geht das?

 

Ich komm hier einfach nicht weiter. Habe die Endlösung hier liegen, aber egal wie ich rechne ich komme nicht dahinter wie das geht. Hilfe bitte !!!

Answer 1

Weil hier nur gerade Potenzen von x auftreten, kann man erstmal y=x² substituieren und die Gleichung für y lösen.
Man erhält:

 

y² - 3y - 4 = 0

Mit der pq-Formel:

y = 3/2 ± √(9/4 + 4)

y = 3/2 ± √(9/4 + 16/4)

y = 3/2 ± √(25/4)

y = 3/2 ± 5/2

y₁ = 4

y₂ = -1

Offensichtlich erhältst du keine weitere Lösung, wenn du mit y=-1 arbeitest, denn x² = -1 besitzt keine Lösungen in ℝ!

Also musst du mit

x² = 4

weiterrechnen, das führt direkt auf

x = ±2

 

Es ist übrigens nicht zwangsläufig so, dass die zweite Lösung für y herausfällt. Es sind durchaus Gleichungen vierten Grades denkbar, die vier Lösungen besitzen.

Answer 2

Das ist ja eine biquadratische Gleichung, da sieht die Substitution auf dein Beispiel so aus:

0=x⁴-3x²-4

Substitution: x²=z

0=z²-3z-4

dann löst du das mit der p|q-Formel: 1,5±√(-1,5)²+4 : z₁=4 z₂=-1

Und jetzt kommt der Punkt den viele vergessen, das Resubstituieren.

z=x² 

4=x² du ziehst die Wurzel und bekommst dann 2=|x| 

Und der Betrag ist das positive und negative, also bekommst du hier zwei Lösungen für x, nämlich 2 und -2

z₂ kannst du weglassen, denn das ist negativ und im Bereich der reellen Zahlen erhältst du dafür kein Ergebnis, das wären dann komplexe Nullstellen, aber ich denke nicht das die gesucht sind.

Comments

Ah ich glaube mein Fehler war das ich vergessen habe von der 4 die Wurzel zu ziehen.

! Habs jetzt verstanden :)