Wie stelle ich die Funktion nach x um?

Question

Wie löse ich folgende aufgabe y=e^{x^4+2x^2}

Wie stelle ich dies nach x um

Ich habs mit dem ln nicht ganz geschafft.

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Vom Duplikat:

Titel: Funktion Umkehrbar? Inverse Funktion

Stichworte: umkehrfunktion

Ich soll entscheiden, ob die Funktion y=e^{x^4+2x^2} umkehrbar ist. und die inverse Funktion angeben.

Kann mir die aufgabe bitte mit Lösungsmittelweg erklären? Ich weiß nicht wie ich sie lösen soll.

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Hier  https://www.mathelounge.de/731044/wie-stelle-ich-die-funktion-nach-x-um

hat Oswald vorgerechnet, dass  y = e^(x^4 + 2·x^2)  für x∈ℝ nicht eindeutig nach x umgestellt werden kann. Man hat nur dann Umkehrfunktionen, wenn D ⊆ ℝ₀⁺ oder  D ⊆ ℝ₀^-  gilt.

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Ich habe allein von der Rechnung leider nicht viel verstanden. Die Erklärungen und Zwischenschritte von Tschakabumba sind immer hilfreich.

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Letzterem kann ich nur zustimmen :-)

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y = e^(x^4+2x^2 )
Umkehrfunktion
x = e^(y^4+2y^2 )

ln(x) = y^4 + 2y^2
ersetzen z = y^2
z^2 + 2z = ln(x)
quadratische Ergänzung
z^2 + 2z + 1 = ln(x) + 1
( z + 1 )^2 = ln(x) + 1
z + 1 = ± √ ( ln(x)+1 )
z = ± √ ( ln(x)+1 ) -1
zurückersetzen
y^2 = ...
y = ± √ [ ± √ ( ln(x)+1 ) -1 ]
Das negativ in der 2.Wurzel entfällt
y = ± √ ( √ ( ln(x)+1 ) -1 )
Es gibt 2 Funktionen
Die Umkehrfunktion ist also keine
Funktion mehr

Answer 1

Aloha :)

Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt:$$x^4+2x^2\ge0\quad\Rightarrow\quad y=e^{x^4+2x^2}\ge1$$Bei der Bildung der Umkehrfunktion behalten wir daher \(y\ge1\) im Hinterkopf:

$$\left.y=e^{x^4+2x^2}\quad\right|\;\cdot e$$$$\left.ye=e^{x^4+2x^2+1}\quad\right|\;\text{1. binomische Formel im Exponenten anwenden}$$$$\left.ye=e^{(x^2+1)^2}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\ln(ye)=(x^2+1)^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt{\ln(ye)}=x^2+1\quad\right|\;-1$$$$\left.\sqrt{\ln(ye)}-1=x^2\quad\right|\;-1$$$$x=\pm\sqrt{\sqrt{\ln(ye)}-1}$$An dem \(\pm\) erkennst du, dass die Funktion nicht für alle \(x\) eindeutig umkehrbar ist. Entweder wählst du \(x\in\mathbb R^{\ge0}\) oder \(x\in\mathbb R^{\le0}\) als Definitionsmenge für die Ursprungsfunktion. Für die Umkehrfunktion musst du nur noch \(x\) und \(y\) vertauschen:$$y=\pm\sqrt{\sqrt{\ln(xe)}-1}$$

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Ich hab noch eine Frage. Wieso haben Sie etwas anderes raus, als  Oswald?

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Oswald hat nur einen kleinen Fehler bei einem \(\pm\) gemacht. Ansonsten haben wir beide (fast) dasselbe raus, denn: $$\ln(ye)=\ln y+\ln e=\ln y+1$$

Answer 2

ln(y) = x⁴ + 2x²

ln(y) + 1 = x⁴ + 2x² + 1

ln(y) + 1 = (x² + 1)²

±√(ln(y) + 1) = x² + 1

-1 ±√(ln(y) + 1) = x²

x = ±√(-1 ±√(ln(y) + 1))

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wieso haben sie im 2 schritt +1 addiert?

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Das hat er gemacht, um im nächsten Schritt die binomische Formel anwenden zu können.

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Ist im Prinzip die quadratische Erweiterung von (p/2)²